# 2.1 数制与编码

## 一、进位计数制

### 1.1 进位计数制的基本概念

**进位计数制**：
- 按进位方式计数的数制
- 由基数和位权组成

**基数（Radix）**：
- 数制中所用的数字符号个数
- 如：二进制的基数为2

**位权（Weight）**：
- 每个数位所代表的数值大小
- 第i位的位权 = 基数^i

### 1.2 常用进位计数制

| 数制 | 基数 | 数字符号 | 后缀 |
|-----|------|---------|------|
| 二进制 | 2 | 0, 1 | B |
| 八进制 | 8 | 0-7 | O/Q |
| 十进制 | 10 | 0-9 | D |
| 十六进制 | 16 | 0-9, A-F | H |

### 1.3 不同数制的表示

**二进制**：
- 基数：2
- 位权：... 2³, 2², 2¹, 2⁰, 2⁻¹, 2⁻² ...
- 例子：(1011.01)₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ + 0×2⁻¹ + 1×2⁻² = 11.25

**八进制**：
- 基数：8
- 位权：... 8³, 8², 8¹, 8⁰, 8⁻¹, 8⁻² ...
- 例子：(37.5)₈ = 3×8¹ + 7×8⁰ + 5×8⁻¹ = 31.625

**十进制**：
- 基数：10
- 位权：... 10³, 10², 10¹, 10⁰, 10⁻¹, 10⁻² ...
- 例子：(123.45)₁₀ = 1×10² + 2×10¹ + 3×10⁰ + 4×10⁻¹ + 5×10⁻²

**十六进制**：
- 基数：16
- 位权：... 16³, 16², 16¹, 16⁰, 16⁻¹, 16⁻² ...
- 例子：(2A.8)₁₆ = 2×16¹ + 10×16⁰ + 8×16⁻¹ = 42.5

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## 二、数制转换

### 2.1 其他进制转十进制

**方法**：按权展开求和

**公式**：
```
N = Σ(d_i × r^i)
```

其中：
- d_i：第i位的数字
- r：基数
- i：位序（从右到左，从0开始）

**例子**：
- (1011)₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11
- (2A)₁₆ = 2×16¹ + 10×16⁰ = 32 + 10 = 42

### 2.2 十进制转其他进制

**整数部分：除基取余法**

**方法**：
1. 用十进制数除以基数，得到商和余数
2. 余数作为低位数字
3. 用商继续除以基数
4. 重复直到商为0
5. 余数从后往前排列

**例子**：十进制转二进制
```
11 ÷ 2 = 5 余 1
5  ÷ 2 = 2 余 1
2  ÷ 2 = 1 余 0
1  ÷ 2 = 0 余 1

(11)₁₀ = (1011)₂
```

**小数部分：乘基取整法**

**方法**：
1. 用十进制小数乘以基数，得到整数部分和小数部分
2. 整数部分作为高位数字
3. 用小数部分继续乘以基数
4. 重复直到小数部分为0或达到精度要求

**例子**：十进制转二进制
```
0.625 × 2 = 1.25  取整 1
0.25  × 2 = 0.5   取整 0
0.5   × 2 = 1.0   取整 1

(0.625)₁₀ = (0.101)₂
```

### 2.3 二进制与八进制转换

**二进制转八进制**：
- 3位二进制 = 1位八进制
- 整数部分从右向左分组
- 小数部分从左向右分组
- 不足3位补0

**例子**：
```
(1011101.01101)₂
= (001 011 101 . 011 010)₂
= (1 3 5 . 3 2)₈
```

**八进制转二进制**：
- 1位八进制 = 3位二进制

**例子**：
```
(135.32)₈
= (001 011 101 . 011 010)₂
= (1011101.01101)₂
```

### 2.4 二进制与十六进制转换

**二进制转十六进制**：
- 4位二进制 = 1位十六进制
- 整数部分从右向左分组
- 小数部分从左向右分组
- 不足4位补0

**例子**：
```
(1011101.01101)₂
= (0101 1101 . 0110 1000)₂
= (5 D . 6 8)₁₆
```

**十六进制转二进制**：
- 1位十六进制 = 4位二进制

**例子**：
```
(5D.68)₁₆
= (0101 1101 . 0110 1000)₂
= (1011101.01101)₂
```

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## 三、真值和机器数

### 3.1 真值

**真值**：
- 带有正负号的实际数值
- 如：+1011, -1011

### 3.2 机器数

**机器数**：
- 在计算机中表示的数值
- 用0和1表示
- 符号位 + 数值位

**符号位**：
- 0表示正数
- 1表示负数

**例子**：
- 真值：+1011
- 机器数：01011（假设5位）

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## 四、原码、反码、补码

### 4.1 原码

**定义**：
- 最高位为符号位（0正1负）
- 其余位为数值的绝对值

**表示范围（n位）**：
```
-(2^(n-1) - 1) ~ +(2^(n-1) - 1)
```

**例子（8位）**：
- +13 = 00001101
- -13 = 10001101

**特点**：
- 表示简单直观
- 0有两种表示：+0 = 00000000, -0 = 10000000
- 运算复杂

### 4.2 反码

**定义**：
- 正数的反码 = 原码
- 负数的反码 = 原码符号位不变，数值位取反

**表示范围（n位）**：
```
-(2^(n-1) - 1) ~ +(2^(n-1) - 1)
```

**例子（8位）**：
- +13 = 00001101
- -13 = 11110010

**特点**：
- 0有两种表示：+0 = 00000000, -0 = 11111111
- 运算比原码简单

### 4.3 补码

**定义**：
- 正数的补码 = 原码
- 负数的补码 = 反码 + 1（末位加1）
- 或：2^n + X（n位，X为负数）

**表示范围（n位）**：
```
-2^(n-1) ~ +(2^(n-1) - 1)
```

**例子（8位）**：
- +13 = 00001101
- -13 = 11110011

**特点**：
- 0只有一种表示：00000000
- 运算简单，符号位参与运算
- 现代计算机普遍采用

### 4.4 三种码制的比较

| 特性 | 原码 | 反码 | 补码 |
|-----|------|------|------|
| 符号位 | 0正1负 | 0正1负 | 0正1负 |
| 正数表示 | 符号位+数值 | 同原码 | 同原码 |
| 负数表示 | 符号位+数值 | 数值位取反 | 反码+1 |
| 0的表示 | 两种 | 两种 | 一种 |
| 表示范围 | -(2^(n-1)-1) ~ +(2^(n-1)-1) | -(2^(n-1)-1) ~ +(2^(n-1)-1) | -2^(n-1) ~ +(2^(n-1)-1) |
| 运算 | 复杂 | 较简单 | 最简单 |
| 应用 | 很少 | 很少 | 普遍使用 |

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## 五、移码

### 5.1 什么是移码

**移码（Excess-N / Offset Binary）**：
- 在补码的基础上符号位取反
- 用于表示浮点数的阶码

**定义**：
```
[X]移 = 2^(n-1) + X
```

**例子（8位）**：
- +13 = 10001101
- -13 = 01110011

### 5.2 移码的特点

- 保持了数据的大小顺序
- 便于比较大小
- 0的表示唯一：10000000

### 5.3 移码与补码的关系

```
[X]移 = [X]补 符号位取反
```

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## 六、BCD码

### 6.1 什么是BCD码

**BCD（Binary-Coded Decimal）**：
- 二进制编码的十进制
- 用4位二进制表示1位十进制数

### 6.2 8421码

**定义**：
- 4位二进制，权值为8、4、2、1
- 最常用

**编码表**：

| 十进制 | 8421码 |
|--------|--------|
| 0 | 0000 |
| 1 | 0001 |
| 2 | 0010 |
| 3 | 0011 |
| 4 | 0100 |
| 5 | 0101 |
| 6 | 0110 |
| 7 | 0111 |
| 8 | 1000 |
| 9 | 1001 |

**例子**：
- (59)₁₀ = (0101 1001)₈₄₂₁

### 6.3 其他BCD码

**2421码**：
- 权值为2、4、2、1
- 自补码

**余3码**：
- 8421码 + 0011
- 自补码

**格雷码**：
- 相邻编码只有一位不同
- 减少错误

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## 七、字符编码

### 7.1 ASCII码

**ASCII（American Standard Code for Information Interchange）**：
- 美国信息交换标准代码
- 7位编码，128个字符

**组成**：
- 0-31：控制字符
- 32-126：可打印字符
- 127：DEL

**常用字符**：
- '0' = 48 (0x30)
- 'A' = 65 (0x41)
- 'a' = 97 (0x61)
- 空格 = 32 (0x20)

### 7.2 扩展ASCII码

**8位ASCII**：
- 最高位为0：标准ASCII
- 最高位为1：扩展字符（各国文字）

### 7.3 Unicode

**Unicode**：
- 统一字符编码
- 为世界上所有字符分配唯一的编码

**UTF-8**：
- Unicode的一种编码方式
- 变长编码（1-4字节）
- 兼容ASCII

**UTF-16**：
- 2或4字节
- Windows常用

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## 八、校验码

### 8.1 奇偶校验码

**奇校验**：
- 数据位 + 校验位中1的个数为奇数

**偶校验**：
- 数据位 + 校验位中1的个数为偶数

**特点**：
- 只能检测奇数位错误
- 不能纠错

### 8.2 海明码

**海明码（Hamming Code）**：
- 可以检测并纠正单比特错误
- 在数据位中插入校验位

**校验位位置**：
- 2^i的位置（1, 2, 4, 8, ...）

### 8.3 循环冗余校验码（CRC）

**CRC（Cyclic Redundancy Check）**：
- 用于数据通信和存储
- 检错能力强
- 见计算机网络部分

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## 九、考研重点

1. **进位计数制**：
   - 基本概念（基数、位权）
   - 常用数制（二进制、八进制、十进制、十六进制）

2. **数制转换**：
   - 其他进制转十进制
   - 十进制转其他进制
   - 二进制与八进制转换
   - 二进制与十六进制转换

3. **真值和机器数**

4. **原码、反码、补码**：
   - 定义
   - 表示范围
   - 特点
   - 比较

5. **移码**：
   - 定义
   - 特点
   - 与补码的关系

6. **BCD码**：
   - 8421码
   - 其他BCD码

7. **字符编码**：
   - ASCII
   - Unicode

8. **校验码**：
   - 奇偶校验
   - 海明码
   - CRC

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*下一节：2.2 定点数的表示和运算*