# 2.2 定点数的表示和运算

## 一、定点数的表示

### 1.1 什么是定点数

**定点数**：
- 小数点位置固定的数
- 分为定点整数和定点小数

**定点整数**：
- 小数点固定在最低位之后
- 如：n位定点整数，小数点在最低位右边

**定点小数**：
- 小数点固定在符号位之后
- 如：n位定点小数，小数点在符号位右边

### 1.2 定点整数的表示

**格式**：
```
| 符号位 | 数值位（n-1位） |
|   1位  |     n-1位      |
```

**范围（补码）**：
```
-2^(n-1) ≤ X ≤ 2^(n-1) - 1
```

**例子（8位）**：
- 最小：10000000 = -128
- 最大：01111111 = 127

### 1.3 定点小数的表示

**格式**：
```
| 符号位 | 小数位（n-1位） |
|   1位  |     n-1位      |
```

**范围（补码）**：
```
-1 ≤ X ≤ 1 - 2^-(n-1)
```

**例子（8位）**：
- 最小：1.0000000 = -1
- 最大：0.1111111 = 127/128 ≈ 0.992

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## 二、定点数的运算

### 2.1 定点数的移位运算

**算术移位**：
- 符号位不变
- 用于乘除2的幂次

**左移**：
- 低位补0
- 相当于乘以2
- 可能溢出

**右移**：
- 高位补符号位（算术右移）
- 相当于除以2
- 可能丢失精度

**例子（8位补码）**：
```
+24 = 00011000
左移1位：00110000 = +48
右移1位：00001100 = +12

-24 = 11101000
左移1位：11010000 = -48
右移1位：11110100 = -12
```

**逻辑移位**：
- 符号位参与移位
- 用于无符号数
- 高位补0

### 2.2 定点数的加法运算

**补码加法**：
```
[X + Y]补 = [X]补 + [Y]补
```

**特点**：
- 符号位参与运算
- 进位自然丢弃
- 结果仍为补码

**例子（8位）**：
```
+13 = 00001101
+10 = 00001010
----------------
+23 = 00010111

+13 = 00001101
-10 = 11110110
----------------
+3  = 00000011（进位丢弃）

-13 = 11110011
-10 = 11110110
----------------
-23 = 11101001（进位丢弃）
```

**溢出判断**：
- 正 + 正 = 负：正溢出
- 负 + 负 = 正：负溢出
- 正 + 负：不会溢出

**溢出检测方法**：
1. **单符号位法**：
   - 结果的符号与操作数符号不同
   
2. **双符号位法（变形补码）**：
   - 符号位为00或11：无溢出
   - 符号位为01：正溢出
   - 符号位为10：负溢出

3. **进位判断法**：
   - 最高位进位 ⊕ 次高位进位 = 1：溢出

### 2.3 定点数的减法运算

**补码减法**：
```
[X - Y]补 = [X]补 + [-Y]补
```

**求[-Y]补**：
- 对[Y]补连同符号位取反加1

**例子（8位）**：
```
+13 - (+10) = +13 + (-10)
+13 = 00001101
-10 = 11110110
----------------
+3  = 00000011

+10 - (+13) = +10 + (-13)
+10 = 00001010
-13 = 11110011
----------------
-3  = 11111101
```

### 2.4 定点数的乘法运算

#### 原码一位乘法

**方法**：
1. 符号位单独处理（异或）
2. 数值部分绝对值相乘
3. 部分积和乘数联合右移

**步骤**：
1. 初始化：部分积 = 0，乘数 = |Y|
2. 判断乘数末位：
   - 为1：部分积 + |X|
   - 为0：部分积 + 0
3. 部分积和乘数联合右移1位
4. 重复n次（n为数值位数）
5. 符号位 = X符号 ⊕ Y符号

**例子**：
```
X = -0.1101, Y = +0.1011
|X| = 0.1101, |Y| = 0.1011

部分积     乘数      操作
00000     1011      末位为1，+|X|
+01101
=01101
00110     1101      右移
+01101    末位为1，+|X|
=10011
01001     1110      右移
+00000    末位为0，+0
=01001
00100     1111      右移
+01101    末位为1，+|X|
=10001
01000     1111      右移

结果：符号位 = 1 ⊕ 0 = 1
乘积 = 1.10001111
```

#### 补码一位乘法（Booth算法）

**方法**：
- 符号位参与运算
- 根据乘数末两位判断操作

**操作规则**：

| Y_i | Y_{i-1} | 操作 |
|-----|---------|------|
| 0   | 0       | 右移 |
| 0   | 1       | +[X]补，右移 |
| 1   | 0       | -[X]补，右移 |
| 1   | 1       | 右移 |

**步骤**：
1. 初始化：部分积 = 0，乘数 = [Y]补，附加位 = 0
2. 根据末两位判断操作
3. 算术右移
4. 重复n+1次（n为位数）

### 2.5 定点数的除法运算

#### 原码除法（恢复余数法）

**方法**：
1. 符号位单独处理（异或）
2. 数值部分绝对值相除
3. 余数左移，减去除数
4. 判断余数符号：
   - 为正：商1
   - 为负：商0，恢复余数（加除数）

#### 原码除法（加减交替法）

**方法**：
1. 余数为正：商1，余数左移，减除数
2. 余数为负：商0，余数左移，加除数

**优点**：
- 不需要恢复余数
- 速度更快

#### 补码除法

**方法**：
- 符号位参与运算
- 根据余数和除数的符号判断

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## 三、运算器的基本组成

### 3.1 算术逻辑单元（ALU）

**功能**：
- 执行算术运算（加、减、乘、除）
- 执行逻辑运算（与、或、非、异或）
- 执行移位运算

**组成**：
- 加法器
- 逻辑运算电路
- 移位器

### 3.2 加法器

**半加器**：
- 两个1位二进制数相加
- 产生和与进位

**全加器**：
- 两个1位二进制数加低位进位
- 产生和与进位

**多位加法器**：
- 串行加法器：逐位相加，速度慢
- 并行加法器：同时相加，速度快
- 超前进位加法器（CLA）：提前计算进位，速度最快

### 3.3 标志寄存器

**标志位**：
- **ZF（Zero Flag）**：零标志，结果为0
- **SF（Sign Flag）**：符号标志，结果为负
- **CF（Carry Flag）**：进位/借位标志
- **OF（Overflow Flag）**：溢出标志
- **PF（Parity Flag）**：奇偶标志
- **AF（Auxiliary Flag）**：辅助进位标志

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## 四、考研重点

1. **定点数的表示**：
   - 定点整数
   - 定点小数
   - 表示范围

2. **定点数的移位运算**：
   - 算术移位
   - 逻辑移位
   - 移位规则

3. **定点数的加法运算**：
   - 补码加法
   - 溢出判断

4. **定点数的减法运算**：
   - 补码减法
   - 求[-Y]补

5. **定点数的乘法运算**：
   - 原码一位乘法
   - 补码一位乘法（Booth算法）

6. **定点数的除法运算**：
   - 恢复余数法
   - 加减交替法

7. **运算器的基本组成**：
   - ALU
   - 加法器
   - 标志寄存器

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*下一节：2.3 浮点数的表示和运算*