# 1.1 函数的概念与性质

## 一、函数的定义

### 1.1 函数的概念

设 $x$ 和 $y$ 是两个变量，$D$ 是一个给定的数集。如果对于每个数 $x \in D$，变量 $y$ 按照一定的法则总有确定的数值和它对应，则称 $y$ 是 $x$ 的函数，记作：

$$y = f(x), \quad x \in D$$

其中：
- $x$ 称为**自变量**
- $y$ 称为**因变量**
- $D$ 称为函数的**定义域**，记作 $D_f$
- 函数值的集合称为**值域**，记作 $R_f$ 或 $f(D)$

### 1.2 函数的两要素

确定一个函数需要两个要素：
1. **定义域**：自变量的取值范围
2. **对应法则**：自变量与因变量的对应关系

**注意**：两个函数相同，当且仅当定义域和对应法则都相同。

### 1.3 常见函数的定义域

| 函数形式 | 定义域要求 |
|---------|-----------|
| $y = \frac{1}{x}$ | $x \neq 0$ |
| $y = \sqrt{x}$ | $x \geq 0$ |
| $y = \ln x$ | $x > 0$ |
| $y = \arcsin x, \arccos x$ | $-1 \leq x \leq 1$ |
| $y = \tan x$ | $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ |
| $y = \cot x$ | $x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$ |

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## 二、函数的性质

### 2.1 有界性

**定义**：设函数 $f(x)$ 在集合 $X$ 上有定义。

- 若存在常数 $M$，使得对任意 $x \in X$，都有 $f(x) \leq M$，则称 $f(x)$ 在 $X$ 上**有上界**
- 若存在常数 $m$，使得对任意 $x \in X$，都有 $f(x) \geq m$，则称 $f(x)$ 在 $X$ 上**有下界**
- 若存在常数 $M > 0$，使得对任意 $x \in X$，都有 $|f(x)| \leq M$，则称 $f(x)$ 在 $X$ 上**有界**

**几何意义**：函数图像在两条水平线 $y = M$ 和 $y = -M$ 之间。

**常见有界函数**：
- $|\sin x| \leq 1$
- $|\cos x| \leq 1$
- $|\arcsin x| \leq \frac{\pi}{2}$
- $|\arccos x| \leq \pi$
- $|\arctan x| < \frac{\pi}{2}$

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### 2.2 单调性

**定义**：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。

- 若对任意 $x_1, x_2 \in I$，当 $x_1 < x_2$ 时，有 $f(x_1) < f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上**单调递增**
- 若对任意 $x_1, x_2 \in I$，当 $x_1 < x_2$ 时，有 $f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上**单调递减**

**判定方法**：
- 若 $f'(x) > 0$ 在 $I$ 上恒成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增
- 若 $f'(x) < 0$ 在 $I$ 上恒成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递减

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### 2.3 奇偶性

**定义**：设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称。

- 若对任意 $x \in D$，有 $f(-x) = f(x)$，则称 $f(x)$ 为**偶函数**
- 若对任意 $x \in D$，有 $f(-x) = -f(x)$，则称 $f(x)$ 为**奇函数**

**几何特征**：
- 偶函数：图像关于 $y$ 轴对称
- 奇函数：图像关于原点对称

**常见奇偶函数**：

| 偶函数 | 奇函数 |
|-------|-------|
| $x^2, x^4, \cdots$ | $x, x^3, x^5, \cdots$ |
| $\cos x$ | $\sin x, \tan x$ |
| $|x|$ | $\arcsin x, \arctan x$ |
| $e^x + e^{-x}$ | $e^x - e^{-x}$ |
| 常数函数 | $f(x) = 0$（既是奇函数又是偶函数）|

**运算性质**：
- 奇 ± 奇 = 奇
- 偶 ± 偶 = 偶
- 奇 × 奇 = 偶
- 偶 × 偶 = 偶
- 奇 × 偶 = 奇

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### 2.4 周期性

**定义**：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$。若存在非零常数 $T$，使得对任意 $x \in D$，有 $x + T \in D$，且 $f(x + T) = f(x)$，则称 $f(x)$ 为**周期函数**，$T$ 称为 $f(x)$ 的**周期**。

**最小正周期**：所有正周期中最小的那个。

**常见周期函数**：

| 函数 | 最小正周期 |
|-----|-----------|
| $\sin x, \cos x$ | $2\pi$ |
| $\tan x, \cot x$ | $\pi$ |
| $\sin(ax + b), \cos(ax + b)$ | $\frac{2\pi}{|a|}$ |
| $\tan(ax + b), \cot(ax + b)$ | $\frac{\pi}{|a|}$ |

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## 三、反函数

### 3.1 反函数的定义

设函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $D$，值域为 $R_f$。若对任意 $y \in R_f$，在 $D$ 中有唯一的 $x$ 使得 $f(x) = y$，则称 $x$ 是 $y$ 的函数，记作 $x = f^{-1}(y)$，称为 $y = f(x)$ 的**反函数**。

习惯上写成：$y = f^{-1}(x)$

### 3.2 反函数的性质

1. **定义域与值域互换**：$D_{f^{-1}} = R_f$，$R_{f^{-1}} = D_f$
2. **图像关于 $y = x$ 对称**：$y = f(x)$ 与 $y = f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称
3. **单调性相同**：若 $f(x)$ 单调，则 $f^{-1}(x)$ 也单调，且单调性相同
4. **复合性质**：$f(f^{-1}(x)) = x$，$f^{-1}(f(x)) = x$

### 3.3 常见反函数

| 原函数 | 反函数 | 定义域 |
|-------|-------|-------|
| $y = e^x$ | $y = \ln x$ | $x > 0$ |
| $y = a^x (a > 0, a \neq 1)$ | $y = \log_a x$ | $x > 0$ |
| $y = \sin x, x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ | $y = \arcsin x$ | $[-1, 1]$ |
| $y = \cos x, x \in [0, \pi]$ | $y = \arccos x$ | $[-1, 1]$ |
| $y = \tan x, x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ | $y = \arctan x$ | $(-\infty, +\infty)$ |

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## 四、复合函数

### 4.1 复合函数的定义

设函数 $y = f(u)$ 的定义域为 $D_f$，函数 $u = g(x)$ 的定义域为 $D_g$，值域为 $R_g$。若 $D_f \cap R_g \neq \varnothing$，则称函数 $y = f(g(x))$ 为 $f$ 与 $g$ 的**复合函数**。

其中：
- $u$ 称为**中间变量**
- $g$ 称为**内层函数**
- $f$ 称为**外层函数**

### 4.2 复合函数的定义域

复合函数 $f(g(x))$ 的定义域为：$\{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}$

**例题**：求 $y = \ln(x^2 - 1)$ 的定义域

**解**：
- 内层函数：$u = x^2 - 1$
- 外层函数：$y = \ln u$，要求 $u > 0$
- 所以 $x^2 - 1 > 0$，即 $x^2 > 1$
- 解得：$x < -1$ 或 $x > 1$
- 定义域：$(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$

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## 五、基本初等函数

### 5.1 幂函数

$$y = x^\mu \quad (\mu \text{ 为常数})$$

**常见幂函数**：

| 函数 | 定义域 | 图像特征 |
|-----|-------|---------|
| $y = x$ | $(-\infty, +\infty)$ | 过原点的直线 |
| $y = x^2$ | $(-\infty, +\infty)$ | 抛物线，关于 $y$ 轴对称 |
| $y = x^3$ | $(-\infty, +\infty)$ | 过原点的立方曲线 |
| $y = \sqrt{x}$ | $[0, +\infty)$ | 半支抛物线 |
| $y = \frac{1}{x}$ | $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ | 双曲线 |

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### 5.2 指数函数

$$y = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)$$

**性质**：
- 定义域：$(-\infty, +\infty)$
- 值域：$(0, +\infty)$
- 过定点：$(0, 1)$
- $a > 1$ 时，单调递增
- $0 < a < 1$ 时，单调递减

**重要指数函数**：$y = e^x$，其中 $e \approx 2.71828$

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### 5.3 对数函数

$$y = \log_a x \quad (a > 0, a \neq 1)$$

**性质**：
- 定义域：$(0, +\infty)$
- 值域：$(-\infty, +\infty)$
- 过定点：$(1, 0)$
- $a > 1$ 时，单调递增
- $0 < a < 1$ 时，单调递减

**重要对数函数**：$y = \ln x = \log_e x$（自然对数）

**对数运算法则**：
- $\ln(ab) = \ln a + \ln b$
- $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$
- $\ln a^n = n\ln a$

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### 5.4 三角函数

| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 |
|-----|-------|------|------|-------|
| $y = \sin x$ | $(-\infty, +\infty)$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | 奇函数 |
| $y = \cos x$ | $(-\infty, +\infty)$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | 偶函数 |
| $y = \tan x$ | $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ | $(-\infty, +\infty)$ | $\pi$ | 奇函数 |
| $y = \cot x$ | $x \neq k\pi$ | $(-\infty, +\infty)$ | $\pi$ | 奇函数 |

**重要公式**：
- $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
- $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$
- $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$

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### 5.5 反三角函数

| 函数 | 定义域 | 值域（主值） | 单调性 |
|-----|-------|-------------|-------|
| $y = \arcsin x$ | $[-1, 1]$ | $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ | 递增 |
| $y = \arccos x$ | $[-1, 1]$ | $[0, \pi]$ | 递减 |
| $y = \arctan x$ | $(-\infty, +\infty)$ | $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ | 递增 |

**重要恒等式**：
- $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$
- $\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$（$x > 0$）

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## 六、初等函数

**定义**：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成，并可用一个解析式表示的函数，称为**初等函数**。

**例子**：
- $y = \sin(x^2 + 1)$
- $y = e^{x^2} + \ln(x + 1)$
- $y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$

**非初等函数的例子**：
- 分段函数（如符号函数、取整函数）
- 隐函数
- 由无穷级数表示的函数

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## 七、分段函数

**定义**：在自变量的不同取值范围内，用不同的解析式表示的函数。

**常见分段函数**：

### 7.1 绝对值函数

$$y = |x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

### 7.2 符号函数

$$y = \text{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$$

### 7.3 取整函数（地板函数）

$$y = [x] = \text{不大于 } x \text{ 的最大整数}$$

例如：$[3.7] = 3$，$[-1.2] = -2$

### 7.4 狄利克雷函数

$$D(x) = \begin{cases} 1, & x \text{ 为有理数} \\ 0, & x \text{ 为无理数} \end{cases}$$

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## 八、典型例题

### 例题1：求函数定义域

求 $f(x) = \sqrt{\ln(x - 1)}$ 的定义域。

**解**：
需要满足：
1. $x - 1 > 0$（对数要求）→ $x > 1$
2. $\ln(x - 1) \geq 0$（根号要求）→ $x - 1 \geq 1$ → $x \geq 2$

综上，定义域为 $[2, +\infty)$

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### 例题2：判断函数奇偶性

判断 $f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ 的奇偶性。

**解**：
定义域为 $(-\infty, +\infty)$，关于原点对称。

计算 $f(-x)$：
$$f(-x) = \ln(-x + \sqrt{x^2 + 1})$$

有理化：
$$-x + \sqrt{x^2 + 1} = \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$$

所以：
$$f(-x) = \ln\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = -\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) = -f(x)$$

因此，$f(x)$ 是**奇函数**。

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### 例题3：求反函数

求 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$（双曲正弦）的反函数。

**解**：
令 $t = e^x > 0$，则 $y = \frac{t - \frac{1}{t}}{2} = \frac{t^2 - 1}{2t}$

整理：$2yt = t^2 - 1$，即 $t^2 - 2yt - 1 = 0$

解得：$t = y + \sqrt{y^2 + 1}$（取正根）

所以：$e^x = y + \sqrt{y^2 + 1}$

反函数为：$y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

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## 九、考研重点

1. **函数定义域的求解**：常考小题
2. **函数性质的判断**：奇偶性、周期性、单调性
3. **复合函数的分解与求值**
4. **反函数的求解**
5. **基本初等函数的图像与性质**：必须熟练掌握

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*下一节：1.2 极限的概念与性质*