# 1.2 极限的概念与性质

## 一、数列的极限

### 1.1 数列极限的定义

设 $\{x_n\}$ 为一数列，$a$ 为常数。若对于任意给定的正数 $\varepsilon$（无论多小），总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有

$$|x_n - a| < \varepsilon$$

则称数列 $\{x_n\}$ **收敛于** $a$，或称 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的**极限**，记作：

$$\lim_{n \to \infty} x_n = a \quad \text{或} \quad x_n \to a \ (n \to \infty)$$

若数列没有极限，则称该数列**发散**。

### 1.2 几何解释

对于任意小的区间 $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$，数列从某一项开始，所有项都落在这个区间内。

### 1.3 例子

**例1**：证明 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

对于任意 $\varepsilon > 0$，取 $N = \left[\frac{1}{\varepsilon}\right] + 1$，则当 $n > N$ 时：
$$\left|\frac{1}{n} - 0\right| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \varepsilon$$

所以 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$。

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## 二、函数的极限

### 2.1 $x \to x_0$ 时的极限

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，$A$ 为常数。若对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有

$$|f(x) - A| < \varepsilon$$

则称 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的**极限**，记作：

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$$

**注意**：$x \to x_0$ 时，$x \neq x_0$（去心邻域）。

### 2.2 $x \to \infty$ 时的极限

设函数 $f(x)$ 当 $|x|$ 大于某正数时有定义，$A$ 为常数。若对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $X$，使得当 $|x| > X$ 时，有

$$|f(x) - A| < \varepsilon$$

则称 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x \to \infty$ 时的**极限**，记作：

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = A$$

### 2.3 单侧极限

**左极限**：$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A$ 或 $f(x_0^-) = A$

**右极限**：$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$ 或 $f(x_0^+) = A$

**定理**：$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 的充要条件是

$$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$$

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## 三、极限的性质

### 3.1 唯一性

若极限存在，则极限值唯一。

### 3.2 有界性

**数列**：若 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，则数列 $\{x_n\}$ 有界。

**函数**：若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有界。

### 3.3 保号性

**数列**：若 $\lim_{n \to \infty} x_n = a > 0$，则存在 $N$，当 $n > N$ 时，$x_n > 0$。

**函数**：若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0$，则存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，$f(x) > 0$。

**推论**：若 $x_n \geq 0$ 且 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，则 $a \geq 0$。

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## 四、极限存在的准则

### 4.1 夹逼准则（ squeeze theorem ）

**数列形式**：若 $y_n \leq x_n \leq z_n$，且 $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} z_n = a$，则 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$。

**函数形式**：若在 $x_0$ 的某去心邻域内，$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，且 $\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A$，则 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。

**应用**：证明重要极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

### 4.2 单调有界准则

**数列**：单调有界数列必有极限。

- 单调递增且有上界的数列必有极限
- 单调递减且有下界的数列必有极限

**应用**：证明数列 $x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 收敛（极限为 $e$）

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## 五、无穷小与无穷大

### 5.1 无穷小的定义

若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$，则称 $f(x)$ 为 $x \to x_0$ 时的**无穷小**。

**注意**：无穷小是一个变量，不是绝对值很小的常数。

### 5.2 无穷小的性质

1. **有限个无穷小的和是无穷小**
2. **有界函数与无穷小的乘积是无穷小**
3. **常数与无穷小的乘积是无穷小**
4. **有限个无穷小的乘积是无穷小**

### 5.3 无穷小的比较

设 $\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$，$\lim_{x \to x_0} \beta(x) = 0$，且 $\beta(x) \neq 0$。

| 关系 | 定义 | 记号 |
|-----|------|------|
| 高阶无穷小 | $\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$ | $\alpha = o(\beta)$ |
| 同阶无穷小 | $\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = C \neq 0$ | $\alpha = O(\beta)$ |
| 等价无穷小 | $\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$ | $\alpha \sim \beta$ |
| k阶无穷小 | $\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta^k(x)} = C \neq 0$ | $\alpha = O(\beta^k)$ |

### 5.4 常用等价无穷小（$x \to 0$）

$$\sin x \sim x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim e^x - 1 \sim \ln(1 + x)$$

$$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$$

$$(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$$

$$a^x - 1 \sim x\ln a$$

$$\log_a(1 + x) \sim \frac{x}{\ln a}$$

### 5.5 无穷大的定义

若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$，则称 $f(x)$ 为 $x \to x_0$ 时的**无穷大**。

**无穷大与无穷小的关系**：
- 若 $f(x)$ 是无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小
- 若 $f(x)$ 是无穷小且 $f(x) \neq 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大

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## 六、极限的运算法则

若 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$，则：

1. **和差**：$\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$
2. **乘积**：$\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$
3. **商**：$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$（$B \neq 0$）
4. **常数倍**：$\lim [Cf(x)] = CA$
5. **幂**：$\lim [f(x)]^n = A^n$（$n$ 为正整数）

**注意**：以上法则要求各极限都存在。

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## 七、两个重要极限

### 7.1 第一个重要极限

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

**推广**：$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$（$u$ 可以是任意趋于0的表达式）

**应用**：求含三角函数的极限

**例**：$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1$

### 7.2 第二个重要极限

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

或

$$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$$

其中 $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底。

**推广**：$\lim_{u \to 0} (1 + u)^{\frac{1}{u}} = e$

**应用**：求 $1^\infty$ 型极限

**例**：$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{2}}\right]^2 = e^2$

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## 八、求极限的方法总结

### 8.1 基本方法

1. **直接代入法**：若函数连续，直接代入
2. **因式分解法**：消去零因子
3. **有理化法**：分子或分母有理化
4. **重要极限法**：利用两个重要极限
5. **等价无穷小替换法**：简化计算
6. **洛必达法则**：$\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型
7. **夹逼准则**：适用于特殊数列

### 8.2 未定式类型

| 类型 | 处理方法 |
|-----|---------|
| $\frac{0}{0}$ | 因式分解、等价无穷小、洛必达 |
| $\frac{\infty}{\infty}$ | 分子分母同除最高次、洛必达 |
| $0 \cdot \infty$ | 转化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ |
| $\infty - \infty$ | 通分或有理化 |
| $1^\infty$ | 利用第二个重要极限 |
| $0^0$, $\infty^0$ | 取对数转化 |

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## 九、典型例题

### 例题1：利用等价无穷小

求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 5x}$

**解**：
当 $x \to 0$ 时，$\sin 3x \sim 3x$，$\tan 5x \sim 5x$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$$

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### 例题2：利用重要极限

求 $\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}}$

**解**：
$$\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} [(1 + 3x)^{\frac{1}{3x}}]^3 = e^3$$

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### 例题3：有理化

求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$

**解**：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + x} - 1)(\sqrt{1 + x} + 1)}{x(\sqrt{1 + x} + 1)}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{2}$$

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## 十、考研重点

1. **用定义证明极限**：理解 $\varepsilon-\delta$ 语言
2. **求各种类型极限**：熟练掌握各种方法
3. **等价无穷小的应用**：简化计算的关键
4. **两个重要极限**：必须牢记
5. **无穷小的比较**：高阶、同阶、等价
6. **夹逼准则和单调有界准则**：证明极限存在

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*下一节：1.3 极限的计算方法*