# 1.3 极限的计算方法

## 一、直接代入法

### 1.1 适用条件

若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，则

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

### 1.2 例题

**例1**：求 $\lim_{x \to 2} (3x^2 + 2x - 1)$

**解**：多项式函数处处连续，直接代入：
$$\lim_{x \to 2} (3x^2 + 2x - 1) = 3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 - 1 = 12 + 4 - 1 = 15$$

**例2**：求 $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \sin x$

**解**：$\sin x$ 处处连续，直接代入：
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \sin x = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

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## 二、因式分解法

### 2.1 适用条件

$\frac{0}{0}$ 型未定式，分子分母有公因式。

### 2.2 方法

1. 对分子分母进行因式分解
2. 约去公因式 $(x - x_0)$
3. 再求极限

### 2.3 例题

**例1**：求 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

**解**：
$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$$

**例2**：求 $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$

**解**：
$$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x + 2)}$$

$$= \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} = \frac{4 + 4 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

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## 三、有理化法

### 3.1 适用条件

含有根式的 $\frac{0}{0}$ 型未定式。

### 3.2 方法

对分子或分母进行有理化，消去零因子。

### 3.3 例题

**例1**：求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$

**解**：分子有理化：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + x} - 1)(\sqrt{1 + x} + 1)}{x(\sqrt{1 + x} + 1)}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{2}$$

**例2**：求 $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt[3]{x} - 1}$

**解**：令 $t = \sqrt[6]{x}$，则 $x = t^6$，当 $x \to 1$ 时，$t \to 1$。

$$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt[3]{x} - 1} = \lim_{t \to 1} \frac{t^3 - 1}{t^2 - 1} = \lim_{t \to 1} \frac{(t - 1)(t^2 + t + 1)}{(t - 1)(t + 1)}$$

$$= \lim_{t \to 1} \frac{t^2 + t + 1}{t + 1} = \frac{3}{2}$$

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## 四、等价无穷小替换法

### 4.1 适用条件

$\frac{0}{0}$ 型未定式，且分子分母可替换为等价无穷小。

### 4.2 常用等价无穷小（$x \to 0$）

| 无穷小 | 等价无穷小 |
|-------|-----------|
| $\sin x$ | $x$ |
| $\tan x$ | $x$ |
| $\arcsin x$ | $x$ |
| $\arctan x$ | $x$ |
| $e^x - 1$ | $x$ |
| $\ln(1 + x)$ | $x$ |
| $1 - \cos x$ | $\frac{x^2}{2}$ |
| $(1 + x)^\alpha - 1$ | $\alpha x$ |
| $a^x - 1$ | $x\ln a$ |
| $\sqrt[n]{1 + x} - 1$ | $\frac{x}{n}$ |

### 4.3 注意事项

1. **只能用于乘除，不能用于加减**
2. **$x$ 可以是任意趋于0的表达式**

### 4.4 例题

**例1**：求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 5x}$

**解**：
当 $x \to 0$ 时，$\sin 3x \sim 3x$，$\tan 5x \sim 5x$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$$

**例2**：求 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

**解**：
当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$$

**例3**：求 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$

**解**：
$$\tan x - \sin x = \sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right) = \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}$$

当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \frac{x^2}{2}}{x^3 \cdot \cos x} = \frac{1}{2}$$

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## 五、两个重要极限

### 5.1 第一重要极限

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

**推广**：$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$

**例**：求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$$

### 5.2 第二重要极限

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

或

$$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$$

**推广**：$\lim_{u \to 0} (1 + u)^{\frac{1}{u}} = e$

**例1**：求 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x$

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{2}}\right]^2 = e^2$$

**例2**：求 $\lim_{x \to 0} (1 - 3x)^{\frac{1}{x}}$

$$\lim_{x \to 0} (1 - 3x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} [(1 - 3x)^{\frac{1}{-3x}}]^{-3} = e^{-3}$$

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## 六、洛必达法则

### 6.1 适用条件

$\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式。

### 6.2 法则内容

若满足：
1. $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0$ 或 $\infty$
2. $f(x)$，$g(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内可导，且 $g'(x) \neq 0$
3. $\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在或为 $\infty$

则：

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

### 6.3 注意事项

1. **必须是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型**
2. **可以连续使用**，直到不再是未定式
3. **结合等价无穷小使用**更高效
4. **某些极限洛必达失效**，需换方法

### 6.4 例题

**例1**：求 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$

**解**：$\frac{0}{0}$ 型，用洛必达：
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1$$

**例2**：求 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

**解**：连续用洛必达3次：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$$

**例3**：求 $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$

**解**：$\frac{\infty}{\infty}$ 型：
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$$

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## 七、其他类型极限的求法

### 7.1 $\infty - \infty$ 型

**方法**：通分或有理化，转化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。

**例**：求 $\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{\ln x}\right)$

**解**：
$$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x - (x - 1)}{(x - 1)\ln x}$$

用等价无穷小：$x - 1 \sim \ln x$（当 $x \to 1$）

再用洛必达或泰勒展开，结果为 $-\frac{1}{2}$。

### 7.2 $0 \cdot \infty$ 型

**方法**：转化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。

**例**：求 $\lim_{x \to 0^+} x\ln x$

**解**：
$$\lim_{x \to 0^+} x\ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$

### 7.3 $1^\infty$ 型

**方法**：利用第二重要极限或取对数。

**公式**：若 $\lim f(x) = 1$，$\lim g(x) = \infty$，则

$$\lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x)[f(x) - 1]}$$

**例**：求 $\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{x}}$

**解**：
$$\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{x}} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot 2x} = e^2$$

### 7.4 $0^0$ 和 $\infty^0$ 型

**方法**：取对数转化为 $0 \cdot \infty$ 型。

**例**：求 $\lim_{x \to 0^+} x^x$

**解**：令 $y = x^x$，则 $\ln y = x\ln x$

$$\lim_{x \to 0^+} \ln y = \lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$$

所以 $\lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1$。

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## 八、数列极限的求法

### 8.1 转化为函数极限

若 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$，则 $\lim_{n \to \infty} f(n) = A$。

### 8.2 夹逼准则

**例**：求 $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$

**解**：
$$0 < \frac{n!}{n^n} = \frac{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n}{n \cdot n \cdot \ldots \cdot n} < \frac{1}{n}$$

由于 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$，由夹逼准则，$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0$。

### 8.3 单调有界准则

**例**：设 $x_1 = \sqrt{2}$，$x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$，求 $\lim_{n \to \infty} x_n$。

**解**：
1. **有界性**：用数学归纳法可证 $0 < x_n < 2$
2. **单调性**：$x_{n+1} - x_n = \sqrt{2 + x_n} - x_n = \frac{2 + x_n - x_n^2}{\sqrt{2 + x_n} + x_n} > 0$（当 $x_n < 2$）

所以 $\{x_n\}$ 单调递增有上界，极限存在。

设 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，则 $a = \sqrt{2 + a}$，解得 $a = 2$。

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## 九、考研重点题型

### 9.1 高频考点

1. **等价无穷小替换**（必考）
2. **洛必达法则**（必考）
3. **两个重要极限**（常考）
4. **泰勒公式求极限**（高效方法）
5. **数列极限**（单调有界、夹逼）

### 9.2 典型考研题

**例1**（2024年真题）：求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$

**解**：泰勒展开：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6}}{x^3} = -\frac{1}{6}$$

**例2**：求 $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n^2 + 1} + \frac{2}{n^2 + 2} + \ldots + \frac{n}{n^2 + n}\right)$

**解**：用夹逼准则：
$$\frac{1 + 2 + \ldots + n}{n^2 + n} \leq S_n \leq \frac{1 + 2 + \ldots + n}{n^2