# 1.4 无穷小与无穷大

## 一、无穷小的概念

### 1.1 定义

若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$，则称函数 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$ 时的**无穷小**。

**注意**：
- 无穷小是一个**变量**，不是绝对值很小的常数
- 说一个函数是无穷小，必须指明**自变量的变化过程**
- 0 是无穷小，但无穷小不一定是 0

### 1.2 例子

- $f(x) = x - 1$ 是 $x \to 1$ 时的无穷小
- $f(x) = \frac{1}{x}$ 是 $x \to \infty$ 时的无穷小
- $f(x) = \sin x$ 不是 $x \to \infty$ 时的无穷小（极限不存在）

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## 二、无穷小的性质

### 2.1 基本性质

**定理1**：有限个无穷小的和是无穷小。

**定理2**：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

**推论**：
- 常数与无穷小的乘积是无穷小
- 有限个无穷小的乘积是无穷小

### 2.2 极限与无穷小的关系

**定理**：$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 的充要条件是 $f(x) = A + \alpha(x)$，其中 $\alpha(x)$ 是 $x \to x_0$ 时的无穷小。

**意义**：极限问题可以转化为无穷小问题。

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## 三、无穷小的比较

### 3.1 比较的前提

设 $\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$，$\lim_{x \to x_0} \beta(x) = 0$，且 $\beta(x) \neq 0$。

### 3.2 比较的定义

| 关系 | 定义 | 记号 | 例子（$x \to 0$）|
|-----|------|------|-----------------|
| 高阶无穷小 | $\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$ | $\alpha = o(\beta)$ | $x^2 = o(x)$ |
| 低阶无穷小 | $\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \infty$ | $\beta = o(\alpha)$ | $x = o(x^2)$ |
| 同阶无穷小 | $\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = C \neq 0$ | $\alpha = O(\beta)$ | $3x$ 与 $x$ |
| 等价无穷小 | $\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$ | $\alpha \sim \beta$ | $\sin x \sim x$ |
| k阶无穷小 | $\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta^k(x)} = C \neq 0$ | $\alpha = O(\beta^k)$ | $x^2$ 是 $x$ 的2阶无穷小 |

### 3.3 例子

**例1**：比较 $x^2$ 和 $x$（$x \to 0$）

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0$$

所以 $x^2 = o(x)$，$x^2$ 是 $x$ 的高阶无穷小。

**例2**：比较 $1 - \cos x$ 和 $x^2$（$x \to 0$）

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$$

所以 $1 - \cos x$ 与 $x^2$ 是同阶无穷小。

**例3**：比较 $1 - \cos x$ 和 $\frac{x^2}{2}$（$x \to 0$）

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{\frac{x^2}{2}} = 1$$

所以 $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$。

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## 四、等价无穷小

### 4.1 常用等价无穷小（$x \to 0$）

**基本等价无穷小**：
$$\sin x \sim x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim e^x - 1 \sim \ln(1 + x)$$

**二次等价无穷小**：
$$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$$

**幂函数等价无穷小**：
$$(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$$
$$\sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{n}$$

**指数对数等价无穷小**：
$$a^x - 1 \sim x\ln a$$
$$\log_a(1 + x) \sim \frac{x}{\ln a}$$

### 4.2 等价无穷小的性质

**性质1（自反性）**：$\alpha \sim \alpha$

**性质2（对称性）**：若 $\alpha \sim \beta$，则 $\beta \sim \alpha$

**性质3（传递性）**：若 $\alpha \sim \beta$，$\beta \sim \gamma$，则 $\alpha \sim \gamma$

**性质4（替换定理）**：若 $\alpha \sim \alpha'$，$\beta \sim \beta'$，则
$$\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha}{\beta} = \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha'}{\beta'}$$

### 4.3 注意事项

**⚠️ 重要**：等价无穷小替换只能用于**乘除**，不能用于**加减**！

**错误例子**：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} \neq \lim_{x \to 0} \frac{x - x}{x^3} = 0$$

**正确做法**：
$$\tan x - \sin x = \sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right) = \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \frac{x^2}{2}}{x^3 \cdot 1} = \frac{1}{2}$$

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## 五、无穷大的概念

### 5.1 定义

若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$（或 $+\infty$，$-\infty$），则称 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$ 时的**无穷大**。

**注意**：
- 无穷大是一个变量，不是绝对值很大的常数
- 说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化过程

### 5.2 例子

- $f(x) = \frac{1}{x}$ 是 $x \to 0$ 时的无穷大
- $f(x) = x^2$ 是 $x \to \infty$ 时的无穷大
- $f(x) = \ln x$ 是 $x \to +\infty$ 时的无穷大

### 5.3 无穷大与无界的关系

**区别**：
- **无穷大**：在某个变化过程中，函数的绝对值无限增大
- **无界**：函数的绝对值可以任意大，但不一定是无限增大

**关系**：无穷大必无界，无界不一定是无穷大。

**例子**：$f(x) = x\sin x$ 在 $x \to \infty$ 时无界，但不是无穷大。

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## 六、无穷大与无穷小的关系

### 6.1 基本关系

**定理**：
1. 若 $f(x)$ 是无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小
2. 若 $f(x)$ 是无穷小且 $f(x) \neq 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大

### 6.2 无穷大的比较

类似于无穷小的比较，可以比较无穷大的"阶数"。

**常见无穷大的阶数**（$x \to +\infty$）：
$$\ln x \ll x^a \ (a > 0) \ll b^x \ (b > 1) \ll x! \ll x^x$$

**例子**：
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$$
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$$

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## 七、无穷小的运算

### 7.1 运算规则

设 $o(x^n)$ 表示 $x$ 的 $n$ 阶无穷小：

1. **加减**：$o(x^n) \pm o(x^n) = o(x^n)$
2. **乘法**：$o(x^m) \cdot o(x^n) = o(x^{m+n})$
3. **数乘**：$k \cdot o(x^n) = o(x^n)$（$k \neq 0$）
4. **高阶吸收低阶**：$o(x^m) + o(x^n) = o(x^m)$（$m < n$）

### 7.2 例子

**例1**：$o(x) + o(x^2) = o(x)$

**例2**：$x \cdot o(x) = o(x^2)$

**例3**：$o(x) \cdot o(x^2) = o(x^3)$

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## 八、泰勒公式与无穷小

### 8.1 泰勒展开

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$$

### 8.2 常用泰勒展开（$x \to 0$）

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$$

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^5)$$

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)$$

$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$

$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + o(x^2)$$

$$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)$$

$$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)$$

### 8.3 应用：求极限

**例**：求 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

**解**：泰勒展开：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

$$\lim_{x \to 0} \frac{x - (x - \frac{x^3}{6} + o(x^3))}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6}}{x^3} = \frac{1}{6}$$

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## 九、典型例题

### 例题1：无穷小的比较

当 $x \to 0$ 时，比较 $1 - \cos x$、$\sqrt{1 + x} - 1$、$\tan x - \sin x$ 的阶数。

**解**：
- $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，是2阶无穷小
- $\sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{2}$，是1阶无穷小
- $\tan x - \sin x = \sin x(\frac{1}{\cos x} - 1) \sim x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}$，是3阶无穷小

所以：$\sqrt{1 + x} - 1$ 是1阶，$1 - \cos x$ 是2阶，$\tan x - \sin x$ 是3阶。

### 例题2：等价无穷小求极限

求 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{\sin 2x}$

**解**：
当 $x \to 0$ 时，$\ln(1 + 3x) \sim 3x$，$\sin 2x \sim 2x$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$$

### 例题3：确定无穷小的阶数

确定当 $x \to 0$ 时，$\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 - \sin x}$ 是几阶无穷小。

**解**：有理化：
$$\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 - \sin x} = \frac{(1 + \tan x) - (1 - \sin x)}{\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 - \sin x}}$$

$$= \frac{\tan x + \sin x}{\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 - \sin x}} \sim \frac{x + x}{2} = x$$

所以是1阶无穷小。

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## 十、考研重点

1. **无穷小的比较**：高阶、同阶、等价、k阶
2. **等价无穷小的应用**：求极限的核心方法
3. **等价无穷小替换的条件**：只能用于乘除
4. **泰勒公式展开**：求复杂极限的利器
5. **无穷大与无穷小的关系**：倒数关系
6. **无穷小的运算规则**：$o$ 记号的运算

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*下一节：1.5 函数的连续性*