# 1.5 函数的连续性

## 一、连续性的概念

### 1.1 连续的定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。若

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处**连续**。

### 1.2 连续的等价表述

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，等价于：

1. **极限形式**：$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
2. **增量形式**：$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$，其中 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
3. **$\varepsilon-\delta$ 形式**：$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，$|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$

### 1.3 几何意义

函数图像在点 $x_0$ 处"没有断开"，可以一笔画出。

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## 二、左连续与右连续

### 2.1 左连续

若 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处**左连续**。

### 2.2 右连续

若 $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处**右连续**。

### 2.3 连续的充要条件

**定理**：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续的充要条件是：

$$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$$

即：左连续且右连续。

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## 三、连续函数

### 3.1 区间上的连续性

- 若 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内每一点都连续，则称 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内**连续**
- 若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，且在 $a$ 处右连续，在 $b$ 处左连续，则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上**连续**

### 3.2 连续函数的记号

$f(x) \in C(I)$ 表示 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续。

### 3.3 常见连续函数

**基本初等函数**在其定义域内都是连续的：
- 幂函数：$y = x^\mu$
- 指数函数：$y = a^x$
- 对数函数：$y = \log_a x$
- 三角函数：$y = \sin x, \cos x, \tan x, \ldots$
- 反三角函数：$y = \arcsin x, \arccos x, \arctan x, \ldots$

**初等函数**在其定义区间内都是连续的。

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## 四、间断点

### 4.1 间断点的定义

若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的**间断点**。

### 4.2 间断点的条件

$x_0$ 是间断点，至少满足以下之一：
1. $f(x)$ 在 $x_0$ 处无定义
2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 不存在
3. $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$

### 4.3 间断点的分类

#### 第一类间断点（左右极限都存在）

**可去间断点**：$\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，但不等于 $f(x_0)$ 或 $f(x_0)$ 无定义。

**跳跃间断点**：$\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ 和 $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 都存在，但不相等。

#### 第二类间断点（至少一侧极限不存在）

**无穷间断点**：$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$（或 $+\infty$，$-\infty$）。

**振荡间断点**：$\lim_{x \to x_0} f(x)$ 不存在，也不是无穷大。

### 4.4 间断点分类总结

| 类型 | 特征 | 例子 |
|-----|------|------|
| 可去间断点 | 极限存在但不等于函数值 | $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处 |
| 跳跃间断点 | 左右极限存在但不相等 | $f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处 |
| 无穷间断点 | 极限为无穷大 | $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处 |
| 振荡间断点 | 极限不存在且不为无穷 | $f(x) = \sin\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处 |

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## 五、连续函数的运算

### 5.1 四则运算

若 $f(x)$，$g(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，则：

1. $f(x) \pm g(x)$ 在 $x_0$ 处连续
2. $f(x) \cdot g(x)$ 在 $x_0$ 处连续
3. $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在 $x_0$ 处连续（$g(x_0) \neq 0$）

### 5.2 复合函数

若 $u = g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，$y = f(u)$ 在 $u_0 = g(x_0)$ 处连续，则复合函数 $y = f(g(x))$ 在 $x_0$ 处连续。

即：$\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f(\lim_{x \to x_0} g(x)) = f(g(x_0))$

### 5.3 反函数

若 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上单调且连续，则其反函数 $x = f^{-1}(y)$ 在对应区间上也单调且连续。

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## 六、闭区间上连续函数的性质

### 6.1 最值定理

**定理**：若 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必有最大值和最小值。

即：$\exists \xi_1, \xi_2 \in [a, b]$，使得
$$f(\xi_1) \leq f(x) \leq f(\xi_2), \quad \forall x \in [a, b]$$

**注意**：开区间上的连续函数不一定有最值。

### 6.2 有界性定理

**定理**：若 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界。

### 6.3 零点定理

**定理**：若 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(\xi) = 0$。

**几何意义**：连续曲线从 $x$ 轴一侧穿到另一侧，必与 $x$ 轴相交。

### 6.4 介值定理

**定理**：若 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，$f(a) = A$，$f(b) = B$，且 $A \neq B$，则对于 $A$ 与 $B$ 之间的任意数 $C$，至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(\xi) = C$。

**推论**：闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。

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## 七、一致连续性

### 7.1 一致连续的定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。若对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对于区间 $I$ 上的任意两点 $x_1, x_2$，当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有

$$|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$$

则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上**一致连续**。

### 7.2 一致连续与连续的区别

- **连续**：$\delta$ 依赖于 $\varepsilon$ 和点 $x_0$
- **一致连续**：$\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，与点无关

### 7.3 一致连续性定理

**定理**：若 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续。

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## 八、典型例题

### 例题1：判断连续性

讨论 $f(x) = \begin{cases} x\sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

**解**：
$$\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0 = f(0)$$

（因为 $|x\sin\frac{1}{x}| \leq |x| \to 0$）

所以 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处**连续**。

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### 例题2：判断间断点类型

求 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$ 的间断点并判断类型。

**解**：
$$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x+1}{x-2} \quad (x \neq 1)$$

**间断点1**：$x = 1$
$$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x-2} = \frac{2}{-1} = -2$$

极限存在，但 $f(1)$ 无定义，所以 $x = 1$ 是**可去间断点**。

**间断点2**：$x = 2$
$$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x+1}{x-2} = \infty$$

所以 $x = 2$ 是**无穷间断点**（第二类）。

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### 例题3：零点定理应用

证明方程 $x^3 - 4x^2 + 1 = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少有一个根。

**解**：
设 $f(x) = x^3 - 4x^2 + 1$，则 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续。

$$f(0) = 1 > 0$$
$$f(1) = 1 - 4 + 1 = -2 < 0$$

由零点定理，$\exists \xi \in (0, 1)$，使得 $f(\xi) = 0$。

即方程在 $(0, 1)$ 内至少有一个根。

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### 例题4：介值定理应用

设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，$f(0) = 0$，$f(1) = 1$。证明存在 $c \in (0, 1)$，使得 $f(c) = 1 - c$。

**解**：
设 $g(x) = f(x) + x - 1$，则 $g(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续。

$$g(0) = f(0) + 0 - 1 = -1 < 0$$
$$g(1) = f(1) + 1 - 1 = 1 > 0$$

由零点定理，$\exists c \in (0, 1)$，使得 $g(c) = 0$。

即 $f(c) + c - 1 = 0$，所以 $f(c) = 1 - c$。

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## 九、考研重点

1. **连续的定义**：极限值等于函数值
2. **间断点的分类**：第一类（可去、跳跃）和第二类（无穷、振荡）
3. **判断间断点类型**：计算左右极限
4. **连续函数的性质**：四则运算、复合函数、反函数
5. **闭区间上连续函数的性质**：最值、有界、零点、介值
6. **零点定理和介值定理的应用**：证明方程根的存在性

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*第一章完*