# 2.1 导数的概念

## 一、导数的定义

### 1.1 导数的引入

导数描述的是函数在某一点处的**变化率**。

**几何意义**：函数曲线在某点处切线的斜率。

### 1.2 导数的定义

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。若极限

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处**可导**，并称该极限值为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的**导数**。

**等价形式**：

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

### 1.3 导数的记法

| 记法 | 含义 |
|-----|------|
| $f'(x_0)$ | 拉格朗日记法 |
| $y'|_{x=x_0}$ | 简记 |
| $\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$ | 莱布尼茨记法 |
| $\frac{df}{dx}|_{x=x_0}$ | 莱布尼茨记法 |
| $\dot{y}$ | 牛顿记法（对时间求导）|

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## 二、左右导数

### 2.1 左导数

$$f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

### 2.2 右导数

$$f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

### 2.3 可导的充要条件

**定理**：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充要条件是左右导数都存在且相等：

$$f'(x_0) \text{ 存在} \Leftrightarrow f'_-(x_0) = f'_+(x_0)$$

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## 三、导函数

### 3.1 导函数的定义

若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 内每一点都可导，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上**可导**。

此时，对于每个 $x \in I$，都有唯一的导数值 $f'(x)$ 与之对应，这样就定义了一个新的函数，称为 $f(x)$ 的**导函数**（简称导数），记作：

$$f'(x), \quad y', \quad \frac{dy}{dx}, \quad \frac{df}{dx}$$

### 3.2 导数与导函数的关系

- $f'(x)$：导函数（是一个函数）
- $f'(x_0)$：函数在点 $x_0$ 处的导数值（是一个数）

关系：$f'(x_0) = f'(x)|_{x=x_0}$

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## 四、导数的几何意义

### 4.1 切线斜率

函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率。

### 4.2 切线方程

曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线方程为：

$$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$

### 4.3 法线方程

法线（与切线垂直的直线）方程为：

$$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0) \quad (f'(x_0) \neq 0)$$

**特殊情况**：
- 若 $f'(x_0) = 0$，切线水平，法线垂直
- 若 $f'(x_0) = \infty$（导数不存在），切线垂直，法线水平

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## 五、可导与连续的关系

### 5.1 定理：可导必连续

**定理**：若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处必连续。

**证明**：
由可导定义，$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0)$ 存在。

则：
$$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x = f'(x_0) \cdot 0 = 0$$

即 $\lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$，所以连续。

### 5.2 连续不一定可导

**反例**：$f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处

- **连续**：$\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$，连续 ✓
- **不可导**：
  - 左导数：$f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{|x| - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$
  - 右导数：$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{|x| - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$
  - $f'_-(0) \neq f'_+(0)$，不可导 ✗

**几何解释**：$|x|$ 在 $x=0$ 处形成"尖点"，没有唯一的切线。

### 5.3 关系总结

$$\text{可导} \Rightarrow \text{连续} \Rightarrow \text{有极限}$$

逆命题不成立！

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## 六、不可导的情况

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不可导的常见情况：

### 6.1 不连续

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续，则必不可导。

### 6.2 尖点（左右导数存在但不相等）

如 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处。

### 6.3 切线垂直（导数为无穷大）

如 $f(x) = \sqrt[3]{x}$ 在 $x = 0$ 处：

$$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x} - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2/3}} = +\infty$$

### 6.4 振荡（极限不存在）

如 $f(x) = \begin{cases} x\sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处。

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## 七、利用导数定义求导

### 7.1 基本步骤

1. 计算增量：$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
2. 求差商：$\frac{\Delta y}{\Delta x}$
3. 取极限：$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

### 7.2 例题

**例1**：用定义求 $f(x) = x^2$ 的导数

**解**：
$$\Delta y = (x + \Delta x)^2 - x^2 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 2x + \Delta x$$

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x$$

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**例2**：用定义求 $f(x) = \sin x$ 在 $x = 0$ 处的导数

**解**：
$$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

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**例3**：讨论 $f(x) = \begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的可导性

**解**：
$$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin\frac{1}{x} - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x}$$

由于 $|\sin\frac{1}{x}| \leq 1$，所以 $|x\sin\frac{1}{x}| \leq |x| \to 0$

因此 $f'(0) = 0$，可导。

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## 八、高阶导数的概念

### 8.1 二阶导数

若 $f'(x)$ 在点 $x$ 处可导，则称 $f(x)$ 在点 $x$ 处**二阶可导**，记作：

$$f''(x), \quad y'', \quad \frac{d^2y}{dx^2}$$

即：$f''(x) = [f'(x)]'$

### 8.2 n阶导数

递归定义：$f^{(n)}(x) = [f^{(n-1)}(x)]'$

记作：$f^{(n)}(x), \quad y^{(n)}, \quad \frac{d^ny}{dx^n}$

### 8.3 物理意义

- $s(t)$：位移函数
- $s'(t) = v(t)$：速度
- $s''(t) = a(t)$：加速度

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## 九、考研重点

1. **用导数定义求导**：特别是分段函数在分段点处
2. **可导与连续的关系**：常考选择题
3. **判断函数在某点的可导性**：左右导数是否相等
4. **切线方程与法线方程**：常考计算题
5. **抽象函数的导数定义应用**

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*下一节：2.2 导数的计算*