# 2.2 导数的计算 ## 一、基本初等函数的导数公式 ### 1.1 常数与幂函数 | 函数 | 导数 | 说明 | |-----|------|------| | $C$（常数）| $0$ | 常数的导数为0 | | $x^n$ | $nx^{n-1}$ | 幂函数求导法则 | | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | 即 $x^{\frac{1}{2}}$ 的导数 | | $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | 即 $x^{-1}$ 的导数 | | $\frac{1}{x^n}$ | $-\frac{n}{x^{n+1}}$ | 即 $x^{-n}$ 的导数 | ### 1.2 指数函数 | 函数 | 导数 | |-----|------| | $a^x$ | $a^x \ln a$ | | $e^x$ | $e^x$ | ### 1.3 对数函数 | 函数 | 导数 | |-----|------| | $\log_a x$ | $\frac{1}{x \ln a}$ | | $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | | $\ln|x|$ | $\frac{1}{x}$ | ### 1.4 三角函数 | 函数 | 导数 | |-----|------| | $\sin x$ | $\cos x$ | | $\cos x$ | $-\sin x$ | | $\tan x$ | $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ | | $\cot x$ | $-\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$ | | $\sec x$ | $\sec x \tan x$ | | $\csc x$ | $-\csc x \cot x$ | ### 1.5 反三角函数 | 函数 | 导数 | |-----|------| | $\arcsin x$ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | | $\arccos x$ | $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | | $\arctan x$ | $\frac{1}{1+x^2}$ | | $\text{arccot } x$ | $-\frac{1}{1+x^2}$ | --- ## 二、导数的四则运算法则 ### 2.1 和差法则 $$(u \pm v)' = u' \pm v'$$ **推广**：$(u_1 \pm u_2 \pm \ldots \pm u_n)' = u_1' \pm u_2' \pm \ldots \pm u_n'$ ### 2.2 乘积法则 $$(uv)' = u'v + uv'$$ **推广**：$(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$ **特殊**：$(Cu)' = Cu'$（$C$为常数） ### 2.3 商法则 $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0)$$ **特殊**：$\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$ ### 2.4 例题 **例1**：求 $y = x^3 + 2x^2 - 5x + 3$ 的导数 **解**： $$y' = 3x^2 + 4x - 5$$ **例2**：求 $y = x^2 \sin x$ 的导数 **解**： $$y' = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x$$ **例3**：求 $y = \frac{x}{e^x}$ 的导数 **解**： $$y' = \frac{(x)' e^x - x (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{e^x - x e^x}{e^{2x}} = \frac{1 - x}{e^x}$$ --- ## 三、复合函数求导（链式法则） ### 3.1 链式法则 设 $y = f(u)$，$u = g(x)$，则复合函数 $y = f(g(x))$ 的导数为： $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$$ 或 $$y'_x = y'_u \cdot u'_x$$ ### 3.2 多层复合 设 $y = f(u)$，$u = g(v)$，$v = h(x)$，则： $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$$ ### 3.3 例题 **例1**：求 $y = \sin(x^2)$ 的导数 **解**： 设 $u = x^2$，则 $y = \sin u$ $$y' = \cos u \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$$ **例2**：求 $y = e^{\sin x}$ 的导数 **解**： 设 $u = \sin x$，则 $y = e^u$ $$y' = e^u \cdot \cos x = e^{\sin x} \cos x$$ **例3**：求 $y = \ln(\cos x)$ 的导数 **解**： $$y' = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$$ **例4**：求 $y = \sqrt{1 + x^2}$ 的导数 **解**： $$y' = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$$ --- ## 四、隐函数求导 ### 4.1 隐函数的概念 由方程 $F(x, y) = 0$ 确定的函数 $y = y(x)$ 称为**隐函数**。 ### 4.2 隐函数求导方法 1. 方程两边对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数） 2. 解出 $y'$ ### 4.3 例题 **例1**：求由 $x^2 + y^2 = 1$ 确定的隐函数的导数 **解**： 两边对 $x$ 求导： $$2x + 2y \cdot y' = 0$$ 解得： $$y' = -\frac{x}{y}$$ **例2**：求由 $e^y + xy = e$ 确定的隐函数在 $x = 0$ 处的导数 **解**： 当 $x = 0$ 时，$e^y = e$，所以 $y = 1$。 两边对 $x$ 求导： $$e^y \cdot y' + y + x \cdot y' = 0$$ 代入 $x = 0$，$y = 1$： $$e \cdot y' + 1 = 0$$ 解得： $$y'|_{x=0} = -\frac{1}{e}$$ --- ## 五、参数方程求导 ### 5.1 参数方程 设 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$，则： $$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$$ ### 5.2 二阶导数 $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$$ ### 5.3 例题 **例**：设 $\begin{cases} x = t - \sin t \\ y = 1 - \cos t \end{cases}$，求 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{d^2y}{dx^2}$ **解**： $$\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t$$ $$\frac{dy}{dt} = \sin t$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}$$ $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{\sin t}{1 - \cos t}\right)}{1 - \cos t} = \frac{\frac{\cos t(1 - \cos t) - \sin t \cdot \sin t}{(1 - \cos t)^2}}{1 - \cos t}$$ $$= \frac{\cos t - \cos^2 t - \sin^2 t}{(1 - \cos t)^3} = \frac{\cos t - 1}{(1 - \cos t)^3} = -\frac{1}{(1 - \cos t)^2}$$ --- ## 六、对数求导法 ### 6.1 适用情况 1. 幂指函数：$y = u(x)^{v(x)}$ 2. 多个函数乘除、开方构成的复杂函数 ### 6.2 方法 1. 两边取对数 2. 两边对 $x$ 求导 3. 解出 $y'$ ### 6.3 例题 **例1**：求 $y = x^x$（$x > 0$）的导数 **解**： 取对数：$\ln y = x \ln x$ 两边求导：$\frac{1}{y} \cdot y' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$ 解得：$y' = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$ **例2**：求 $y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ 的导数 **解**： 取对数：$\ln y = \frac{1}{2}[\ln(x-1) + \ln(x-2) - \ln(x-3) - \ln(x-4)]$ 两边求导：$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4}\right)$ 解得：$y' = \frac{y}{2}\left(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4}\right)$ --- ## 七、高阶导数 ### 7.1 定义 函数 $y = f(x)$ 的导数的导数称为**二阶导数**，记作： $$y'', \quad f''(x), \quad \frac{d^2y}{dx^2}$$ 类似地，$n$ 阶导数记作： $$y^{(n)}, \quad f^{(n)}(x), \quad \frac{d^ny}{dx^n}$$ ### 7.2 常见函数的高阶导数 **幂函数**： $$(x^n)^{(k)} = \begin{cases} n(n-1)\cdots(n-k+1)x^{n-k}, & k \leq n \\ 0, & k > n \end{cases}$$ **指数函数**： $$(e^x)^{(n)} = e^x$$ $$(a^x)^{(n)} = a^x (\ln a)^n$$ **三角函数**： $$(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$$ $$(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$$ **对数函数**： $$(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$$ ### 7.3 莱布尼茨公式 $$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)}$$ 其中 $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ ### 7.4 例题 **例1**：求 $y = x^2 e^x$ 的 $n$ 阶导数 **解**： 用莱布尼茨公式： $$(x^2 e^x)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k (x^2)^{(k)}(e^x)^{(n-k)}$$ 由于 $(x^2)'' = 2$，$(x^2)^{(3)} = 0$，所以只有 $k = 0, 1, 2$ 项非零。 $$= C_n^0 x^2 e^x + C_n^1 \cdot 2x \cdot e^x + C_n^2 \cdot 2 \cdot e^x$$ $$= x^2 e^x + 2n x e^x + n(n-1) e^x$$ $$= e^x(x^2 + 2nx + n^2 - n)$$ --- ## 八、反函数求导 ### 8.1 反函数求导公式 设 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上单调、可导，且 $f'(x) \neq 0$，则其反函数 $x = f^{-1}(y)$ 也可导，且： $$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{f'(x)}$$ 或 $$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$$ ### 8.2 例题 **例**：求 $y = \arcsin x$ 的导数 **解**： $y = \arcsin x$ 是 $x = \sin y$（$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$）的反函数。 $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$ --- ## 九、考研重点 1. **基本求导公式**：必须熟练记忆 2. **四则运算法则**：和差积商 3. **链式法则**：复合函数求导的核心 4. **隐函数求导**：方程两边求导 5. **参数方程求导**：$\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$ 6. **对数求导法**：幂指函数、复杂乘除 7. **高阶导数**：常见公式、莱布尼茨公式 8. **反函数求导**：$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y'}$ --- *下一节：2.3 微分中值定理*