# 2.3 微分中值定理

## 一、费马引理

### 1.1 内容

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，并且在 $x_0$ 处可导。若对任意 $x \in U(x_0)$，有

$$f(x) \leq f(x_0) \quad \text{（或 } f(x) \geq f(x_0)\text{）}$$

则 $f'(x_0) = 0$。

### 1.2 几何意义

函数在极值点（局部最大值或最小值点）处，如果可导，则切线水平（斜率为0）。

### 1.3 说明

- 费马引理给出了**极值点的必要条件**：可导的极值点必是驻点（$f'(x) = 0$）
- 但驻点不一定是极值点（如 $f(x) = x^3$ 在 $x = 0$ 处）

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## 二、罗尔定理

### 2.1 内容

设函数 $f(x)$ 满足：
1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a, b)$ 内可导
3. $f(a) = f(b)$

则至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得 $f'(\xi) = 0$。

### 2.2 几何意义

如果连续曲线在两个端点处高度相同，且每一点都有不垂直于 $x$ 轴的切线，则曲线上至少有一点处的切线是水平的。

### 2.3 证明思路

1. 由最值定理，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有最大值 $M$ 和最小值 $m$
2. 若 $M = m$，则 $f(x)$ 为常数，$f'(x) = 0$ 对所有 $x \in (a, b)$ 成立
3. 若 $M > m$，由于 $f(a) = f(b)$，则 $M$ 和 $m$ 至少有一个在 $(a, b)$ 内取得
4. 设 $f(\xi) = M$，$\xi \in (a, b)$，由费马引理，$f'(\xi) = 0$

### 2.4 例题

**例1**：验证 $f(x) = x^2 - 2x$ 在 $[0, 2]$ 上满足罗尔定理条件，并求 $\xi$。

**解**：
- $f(x)$ 是多项式，在 $[0, 2]$ 上连续，在 $(0, 2)$ 内可导 ✓
- $f(0) = 0$，$f(2) = 4 - 4 = 0$，$f(0) = f(2)$ ✓

由罗尔定理，$\exists \xi \in (0, 2)$，$f'(\xi) = 0$。

$f'(x) = 2x - 2 = 0$，解得 $x = 1$。

所以 $\xi = 1$。

**例2**：设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，在 $(0, 1)$ 内可导，$f(0) = f(1) = 0$。证明存在 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f'(\xi) = 0$。

**解**：直接应用罗尔定理即可。

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## 三、拉格朗日中值定理

### 3.1 内容

设函数 $f(x)$ 满足：
1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a, b)$ 内可导

则至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得

$$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

或

$$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$$

### 3.2 几何意义

曲线上至少有一点，该点的切线与连接端点的弦平行。

### 3.3 与罗尔定理的关系

拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广：
- 当 $f(a) = f(b)$ 时，拉格朗日定理退化为罗尔定理

### 3.4 证明

构造辅助函数：
$$F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$$

验证 $F(x)$ 满足罗尔定理条件，即可得证。

### 3.5 推论

**推论1**：若 $f'(x) = 0$ 在 $(a, b)$ 内恒成立，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内为常数。

**推论2**：若 $f'(x) = g'(x)$ 在 $(a, b)$ 内恒成立，则 $f(x) = g(x) + C$（$C$ 为常数）。

### 3.6 例题

**例1**：证明当 $x > 0$ 时，$\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$。

**解**：
设 $f(t) = \ln(1+t)$，在 $[0, x]$ 上应用拉格朗日中值定理：

$$\frac{\ln(1+x) - \ln(1+0)}{x - 0} = \frac{1}{1+\xi}, \quad \xi \in (0, x)$$

即 $\frac{\ln(1+x)}{x} = \frac{1}{1+\xi}$。

由于 $0 < \xi < x$，所以 $1 < 1+\xi < 1+x$，从而 $\frac{1}{1+x} < \frac{1}{1+\xi} < 1$。

因此 $\frac{1}{1+x} < \frac{\ln(1+x)}{x} < 1$，即 $\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$。

**例2**：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导。证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得
$$f(b) - f(a) = \xi f'(\xi) \ln\frac{b}{a}$$

**解**：
设 $g(x) = \ln x$，在 $[a, b]$ 上应用柯西中值定理（见下文）。

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## 四、柯西中值定理

### 4.1 内容

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：
1. 在闭区间 $[a, b]$ 上都连续
2. 在开区间 $(a, b)$ 内都可导
3. $g'(x) \neq 0$ 在 $(a, b)$ 内

则至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得

$$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

### 4.2 与拉格朗日定理的关系

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广：
- 当 $g(x) = x$ 时，柯西定理退化为拉格朗日定理

### 4.3 证明

构造辅助函数：
$$F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}[g(x) - g(a)]$$

验证 $F(x)$ 满足罗尔定理条件，即可得证。

### 4.4 例题

**例**：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$0 < a < b$。证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得
$$f(b) - f(a) = \xi f'(\xi) \ln\frac{b}{a}$$

**解**：
设 $g(x) = \ln x$，则 $g'(x) = \frac{1}{x} \neq 0$ 在 $(a, b)$ 内。

由柯西中值定理：
$$\frac{f(b) - f(a)}{\ln b - \ln a} = \frac{f'(\xi)}{\frac{1}{\xi}} = \xi f'(\xi)$$

即 $f(b) - f(a) = \xi f'(\xi) \ln\frac{b}{a}$。

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## 五、三大中值定理的关系

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罗尔定理（f(a)=f(b)）
    ↓ 推广
拉格朗日中值定理（一般情况）
    ↓ 推广
柯西中值定理（两个函数）
```

**应用选择**：
- 证明 $f'(\xi) = 0$：用罗尔定理
- 证明 $f'(\xi) = k$：用拉格朗日定理
- 涉及两个函数的比值：用柯西定理

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## 六、泰勒公式

### 6.1 带拉格朗日余项的泰勒公式

设函数 $f(x)$ 在含有 $x_0$ 的某个开区间 $(a, b)$ 内具有直到 $n+1$ 阶的导数，则对任意 $x \in (a, b)$，有

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$$

其中拉格朗日余项：
$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

$\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间。

### 6.2 带佩亚诺余项的泰勒公式

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，则

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)$$

### 6.3 麦克劳林公式（$x_0 = 0$）

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)$$

### 6.4 常见函数的麦克劳林展开

**$e^x$**：
$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots + \frac{x^n}{n!} + \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}x^{n+1}$$

**$\sin x$**：
$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots + (-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!} + R_{2m}(x)$$

**$\cos x$**：
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots + (-1)^{m}\frac{x^{2m}}{(2m)!} + R_{2m+1}(x)$$

**$\ln(1+x)$**：
$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + R_n(x) \quad (-1 < x \leq 1)$$

**$(1+x)^\alpha$**：
$$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + R_n(x)$$

### 6.5 应用

**求极限**：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x - (x - \frac{x^3}{6} + o(x^3))}{x^3} = \frac{1}{6}$$

**证明不等式**：
利用泰勒展开估计函数值。

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## 七、典型例题

### 例题1：罗尔定理应用

设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，在 $(0, 1)$ 内可导，$f(0) = 1$，$f(1) = 0$。证明存在 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f'(\xi) = -\frac{f(\xi)}{\xi}$。

**解**：
构造 $F(x) = x f(x)$，则 $F(0) = 0$，$F(1) = 1 \cdot 0 = 0$。

由罗尔定理，$\exists \xi \in (0, 1)$，$F'(\xi) = 0$。

$F'(x) = f(x) + x f'(x) = 0$，即 $f'(\xi) = -\frac{f(\xi)}{\xi}$。

### 例题2：拉格朗日定理应用

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，连接 $(a, f(a))$ 和 $(b, f(b))$ 的直线与曲线 $y = f(x)$ 交于点 $(c, f(c))$（$a < c < b$）。证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $f''(\xi) = 0$。

**解**：
在 $[a, c]$ 和 $[c, b]$ 上分别应用拉格朗日定理：
- $\exists \xi_1 \in (a, c)$，$f'(\xi_1) = \frac{f(c) - f(a)}{c - a}$
- $\exists \xi_2 \in (c, b)$，$f'(\xi_2) = \frac{f(b) - f(c)}{b - c}$

由于三点共线，$\frac{f(c) - f(a)}{c - a} = \frac{f(b) - f(c)}{b - c} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。

所以 $f'(\xi_1) = f'(\xi_2)$，在 $[\xi_1, \xi_2]$ 上应用罗尔定理，$\exists \xi \in (\xi_1, \xi_2) \subset (a, b)$，$f''(\xi) = 0$。

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## 八、考研重点

1. **罗尔定理**：构造辅助函数，证明导数为零
2. **拉格朗日定理**：证明不等式、估计函数值
3. **柯西定理**：涉及两个函数比值的问题
4. **泰勒公式**：求极限、证明不等式、估计误差
5. **构造辅助函数的技巧**：这是难点也是重点
6. **多次应用中值定理**：复杂证明题常用

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*下一节：2.4 导数的应用*