# 2.4 导数的应用

## 一、洛必达法则

### 1.1 法则内容

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：
1. $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0$ 或 $\infty$
2. 在 $x_0$ 的某去心邻域内可导，且 $g'(x) \neq 0$
3. $\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在或为 $\infty$

则：
$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

### 1.2 适用类型

- $\frac{0}{0}$ 型
- $\frac{\infty}{\infty}$ 型

### 1.3 其他类型转化

| 原类型 | 转化方法 |
|-------|---------|
| $0 \cdot \infty$ | $\frac{0}{\frac{1}{\infty}} = \frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\frac{1}{0}} = \frac{\infty}{\infty}$ |
| $\infty - \infty$ | 通分或有理化 |
| $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ | 取对数转化为 $0 \cdot \infty$ |

### 1.4 注意事项

1. **必须是未定式**才能用洛必达
2. **可以连续使用**，直到求出结果
3. **结合等价无穷小**更高效
4. **某些情况洛必达失效**，需换方法

### 1.5 洛必达失效的例子

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \cos x}{1}$$

右边极限不存在，但原极限为 1。

### 1.6 例题

**例1**：求 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$

**解**：$\frac{0}{0}$ 型：
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1$$

**例2**：求 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

**解**：连续用洛必达3次：
$$= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$$

**例3**：求 $\lim_{x \to 0^+} x^x$

**解**：$0^0$ 型，取对数：
设 $y = x^x$，则 $\ln y = x \ln x$

$$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$

所以 $\lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1$。

---

## 二、函数的单调性

### 2.1 判定定理

设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导：

- 若在 $(a, b)$ 内 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上**单调递增**
- 若在 $(a, b)$ 内 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上**单调递减**

**注意**：个别点导数为0不影响单调性。

### 2.2 求单调区间步骤

1. 确定定义域
2. 求导数 $f'(x)$
3. 求 $f'(x) = 0$ 的点和 $f'(x)$ 不存在的点
4. 用这些点划分区间，判断各区间上 $f'(x)$ 的符号

### 2.3 例题

**例**：求 $f(x) = x^3 - 3x^2$ 的单调区间

**解**：
定义域：$(-\infty, +\infty)$

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

令 $f'(x) = 0$，得 $x = 0$ 或 $x = 2$。

| 区间 | $(-\infty, 0)$ | $(0, 2)$ | $(2, +\infty)$ |
|-----|---------------|---------|---------------|
| $f'(x)$ | $+$ | $-$ | $+$ |
| $f(x)$ | 递增 | 递减 | 递增 |

---

## 三、函数的极值

### 3.1 极值的定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。

- 若对该邻域内任意 $x \neq x_0$，有 $f(x) < f(x_0)$，则 $f(x_0)$ 为**极大值**
- 若对该邻域内任意 $x \neq x_0$，有 $f(x) > f(x_0)$，则 $f(x_0)$ 为**极小值**

### 3.2 极值的必要条件

**定理**：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且在 $x_0$ 处取得极值，则 $f'(x_0) = 0$。

**驻点**：使 $f'(x) = 0$ 的点称为**驻点**（或稳定点、临界点）。

**注意**：
- 驻点不一定是极值点（如 $f(x) = x^3$ 在 $x = 0$）
- 极值点也可能是导数不存在的点

### 3.3 极值的充分条件

**第一充分条件（一阶导数判别法）**：

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，在 $x_0$ 的某去心邻域内可导。

- 若 $f'(x)$ 在 $x_0$ 左侧为正，右侧为负，则 $f(x_0)$ 为**极大值**
- 若 $f'(x)$ 在 $x_0$ 左侧为负，右侧为正，则 $f(x_0)$ 为**极小值**
- 若 $f'(x)$ 在 $x_0$ 两侧同号，则 $f(x_0)$ **不是极值**

**第二充分条件（二阶导数判别法）**：

设 $f'(x_0) = 0$，$f''(x_0)$ 存在。

- 若 $f''(x_0) < 0$，则 $f(x_0)$ 为**极大值**
- 若 $f''(x_0) > 0$，则 $f(x_0)$ 为**极小值**
- 若 $f''(x_0) = 0$，判别法失效

### 3.4 求极值步骤

1. 求定义域
2. 求 $f'(x)$，找驻点和不可导点
3. 用充分条件判断各点是否为极值点
4. 计算极值

### 3.5 例题

**例**：求 $f(x) = x^3 - 3x^2$ 的极值

**解**：
$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

驻点：$x = 0$，$x = 2$

$f''(x) = 6x - 6$

- $f''(0) = -6 < 0$，所以 $f(0) = 0$ 为**极大值**
- $f''(2) = 6 > 0$，所以 $f(2) = -4$ 为**极小值**

---

## 四、函数的最值

### 4.1 闭区间上最值的求法

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必有最大值和最小值。

**求法**：
1. 求 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的驻点和不可导点
2. 计算这些点和端点的函数值
3. 比较得出最大值和最小值

### 4.2 开区间或无穷区间

若区间内只有一个极值点，则该极值必为最值。

### 4.3 例题

**例**：求 $f(x) = x^3 - 3x^2$ 在 $[-1, 4]$ 上的最值

**解**：
驻点：$x = 0$，$x = 2$

计算函数值：
- $f(-1) = -1 - 3 = -4$
- $f(0) = 0$
- $f(2) = 8 - 12 = -4$
- $f(4) = 64 - 48 = 16$

最大值：$f(4) = 16$
最小值：$f(-1) = f(2) = -4$

---

## 五、曲线的凹凸性与拐点

### 5.1 凹凸性的定义

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续。

- 若对任意 $x_1, x_2 \in I$，有 $f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称曲线在 $I$ 上是**凹的**（上凹）
- 若对任意 $x_1, x_2 \in I$，有 $f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称曲线在 $I$ 上是**凸的**（下凹）

### 5.2 凹凸性的判定

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导：

- 若在 $(a, b)$ 内 $f''(x) > 0$，则曲线在 $[a, b]$ 上是**凹的**
- 若在 $(a, b)$ 内 $f''(x) < 0$，则曲线在 $[a, b]$ 上是**凸的**

### 5.3 拐点

**定义**：连续曲线上凹凸性改变的点称为**拐点**。

**必要条件**：若 $(x_0, f(x_0))$ 是拐点，则 $f''(x_0) = 0$ 或 $f''(x_0)$ 不存在。

**充分条件**：若 $f''(x)$ 在 $x_0$ 两侧异号，则 $(x_0, f(x_0))$ 是拐点。

### 5.4 例题

**例**：求 $f(x) = x^3$ 的凹凸区间和拐点

**解**：
$f'(x) = 3x^2$
$f''(x) = 6x$

令 $f''(x) = 0$，得 $x = 0$。

- 当 $x < 0$ 时，$f''(x) < 0$，曲线**凸**
- 当 $x > 0$ 时，$f''(x) > 0$，曲线**凹**

所以 $(0, 0)$ 是**拐点**。

---

## 六、渐近线

### 6.1 水平渐近线

若 $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$（或 $x \to +\infty$，$x \to -\infty$），则 $y = A$ 是曲线的**水平渐近线**。

### 6.2 垂直渐近线

若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$（或单侧极限为 $\infty$），则 $x = x_0$ 是曲线的**垂直渐近线**。

通常在分母为零的点寻找。

### 6.3 斜渐近线

若 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a \neq 0$，且 $\lim_{x \to \infty} [f(x) - ax] = b$，则 $y = ax + b$ 是曲线的**斜渐近线**。

### 6.4 例题

**例**：求 $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$ 的渐近线

**解**：
**垂直渐近线**：$x = 1$（分母为零）

**斜渐近线**：
$$a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(x-1)} = 1$$

$$b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2}{x-1} - x\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x-1} = 1$$

所以斜渐近线为 $y = x + 1$。

---

## 七、函数图像的描绘

### 7.1 步骤

1. 确定定义域
2. 判断奇偶性、周期性
3. 求一阶导数，确定单调性和极值
4. 求二阶导数，确定凹凸性和拐点
5. 求渐近线
6. 求与坐标轴的交点
7. 列表、描点、画图

### 7.2 例题

描绘 $f(x) = x^3 - 3x^2$ 的图像。

**解**：
1. 定义域：$(-\infty, +\infty)$
2. 与坐标轴交点：$(0, 0)$，$(3, 0)$
3. 单调性：在 $(-\infty, 0)$ 递增，$(0, 2)$ 递减，$(2, +\infty)$ 递增
4. 极值：极大值 $f(0) = 0$，极小值 $f(2) = -4$
5. 凹凸性：$f''(x) = 6x - 6$，拐点 $(1, -2)$
6. 无渐近线

---

## 八、曲率（数二不考）

### 8.1 弧微分

$$ds = \sqrt{1 + y'^2} dx$$

### 8.2 曲率

$$K = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{3/2}}$$

### 8.3 曲率半径

$$R = \frac{1}{K} = \frac{(1 + y'^2)^{3/2}}{|y''|}$$

---

## 九、典型例题

### 例题1：证明不等式

证明：当 $x > 0$ 时，$\ln(1 + x) < x$。

**解**：
设 $f(x) = x - \ln(1 + x)$，则 $f(0) = 0$。

$f'(x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} > 0$（$x > 0$）

所以 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递增。

当 $x > 0$ 时，$f(x) > f(0) = 0$，即 $x - \ln(1 + x) > 0$。

所以 $\ln(1 + x) < x$。

### 例题2：方程根的讨论

讨论方程 $\ln x = ax$（$a > 0$）的实根个数。

**解**：
设 $f(x) = \ln x - ax$（$x > 0$）。

$f'(x) = \frac{1}{x} - a = \frac{1 - ax}{x}$

驻点：$x = \frac{1}{a}$

$f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$，所以 $x = \frac{1}{a}$ 是极大值点。

极大值：$f\left(\frac{1}{a}\right) = \ln\frac{1}{a} - 1 = -\ln a - 1$

- 若 $-\ln a - 1 > 0$（即 $a < \frac{1}{e}$），方程有**2个实根**
- 若 $-\ln a - 1 = 0$（即 $a = \frac{1}{e}$），方程有**1个实根**
- 若 $-\ln a - 1 < 0$（即 $a > \frac{1}{e}$），方程**无实根**

---

## 十、考研重点

1. **洛必达法则**：求极限的核心方法
2. **单调性与极值**：必考内容
3. **最值问题**：实际应用问题
4. **凹凸性与拐点**：图像特征
5. **渐近线**：三种类型都要掌握
6. **证明不等式**：构造函数，利用单调性
7. **方程根的讨论**：结合单调性和极值
8. **函数作图**：综合应用

---

*第二章完*