# 3.1 不定积分

## 一、不定积分的概念

### 1.1 原函数

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。若存在函数 $F(x)$，使得对任意 $x \in I$，有

$$F'(x) = f(x) \quad \text{或} \quad dF(x) = f(x)dx$$

则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的**原函数**。

### 1.2 原函数的性质

**性质1**：若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则 $F(x) + C$（$C$ 为任意常数）也是 $f(x)$ 的原函数。

**性质2**：若 $F(x)$ 和 $G(x)$ 都是 $f(x)$ 的原函数，则 $F(x) - G(x) = C$（常数）。

即：**原函数之间相差一个常数**。

### 1.3 不定积分的定义

函数 $f(x)$ 的全体原函数称为 $f(x)$ 的**不定积分**，记作：

$$\int f(x)dx$$

其中：
- $\int$ 称为**积分号**
- $f(x)$ 称为**被积函数**
- $f(x)dx$ 称为**被积表达式**
- $x$ 称为**积分变量**

若 $F'(x) = f(x)$，则

$$\int f(x)dx = F(x) + C$$

其中 $C$ 为**积分常数**。

### 1.4 不定积分的几何意义

$f(x)$ 的不定积分表示 $f(x)$ 的**积分曲线族**，即一族平行曲线（沿 $y$ 轴平移得到）。

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## 二、基本积分公式

### 2.1 幂函数

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$

$$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$$

### 2.2 指数函数

$$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1)$$

$$\int e^x dx = e^x + C$$

### 2.3 三角函数

$$\int \sin x dx = -\cos x + C$$

$$\int \cos x dx = \sin x + C$$

$$\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C$$

$$\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C$$

$$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$$

$$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$$

$$\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$$

$$\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$$

$$\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$$

$$\int \csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$$

### 2.4 反三角函数相关

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C = -\arccos x + C$$

$$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C = -\text{arccot } x + C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin\frac{x}{a} + C \quad (a > 0)$$

$$\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C \quad (a > 0)$$

### 2.5 其他常用公式

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \ln|x + \sqrt{x^2+a^2}| + C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \ln|x + \sqrt{x^2-a^2}| + C \quad (|x| > |a|)$$

$$\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C$$

$$\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$$

$$\int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln|x + \sqrt{x^2+a^2}| + C$$

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## 三、不定积分的性质

### 3.1 线性性质

$$\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$$

$$\int kf(x)dx = k\int f(x)dx \quad (k \text{ 为常数，} k \neq 0)$$

### 3.2 与导数的关系

$$\frac{d}{dx}\int f(x)dx = f(x)$$

$$\int f'(x)dx = f(x) + C$$

$$d\int f(x)dx = f(x)dx$$

$$\int df(x) = f(x) + C$$

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## 四、换元积分法

### 4.1 第一类换元法（凑微分法）

设 $F(u)$ 是 $f(u)$ 的原函数，$u = \varphi(x)$ 可导，则

$$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx = \int f(u)du = F(u) + C = F[\varphi(x)] + C$$

**关键**：将被积表达式凑成 $f[\varphi(x)]d\varphi(x)$ 的形式。

### 4.2 常见凑微分形式

| 被积表达式 | 凑微分形式 |
|-----------|-----------|
| $f(ax+b)dx$ | $\frac{1}{a}f(ax+b)d(ax+b)$ |
| $f(x^n)x^{n-1}dx$ | $\frac{1}{n}f(x^n)d(x^n)$ |
| $f(\ln x)\frac{1}{x}dx$ | $f(\ln x)d(\ln x)$ |
| $f(e^x)e^xdx$ | $f(e^x)d(e^x)$ |
| $f(\sin x)\cos x dx$ | $f(\sin x)d(\sin x)$ |
| $f(\cos x)\sin x dx$ | $-f(\cos x)d(\cos x)$ |
| $f(\tan x)\sec^2 x dx$ | $f(\tan x)d(\tan x)$ |
| $f(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ | $f(\arcsin x)d(\arcsin x)$ |
| $f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx$ | $f(\arctan x)d(\arctan x)$ |

### 4.3 第二类换元法

设 $x = \varphi(t)$ 单调、可导，且 $\varphi'(t) \neq 0$，则

$$\int f(x)dx = \int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt$$

求出右边积分后，用 $t = \varphi^{-1}(x)$ 回代。

### 4.4 常用换元

**三角换元**：

| 被积函数含 | 换元 | 利用公式 |
|-----------|------|---------|
| $\sqrt{a^2-x^2}$ | $x = a\sin t$ | $1-\sin^2 t = \cos^2 t$ |
| $\sqrt{a^2+x^2}$ | $x = a\tan t$ | $1+\tan^2 t = \sec^2 t$ |
| $\sqrt{x^2-a^2}$ | $x = a\sec t$ | $\sec^2 t - 1 = \tan^2 t$ |

**倒代换**：$x = \frac{1}{t}$，适用于分母次数较高的情况。

**根式换元**：令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$，适用于含 $\sqrt[n]{ax+b}$ 的情况。

### 4.5 例题

**例1**：求 $\int x\cos(x^2)dx$

**解**：
$$\int x\cos(x^2)dx = \frac{1}{2}\int \cos(x^2)d(x^2) = \frac{1}{2}\sin(x^2) + C$$

**例2**：求 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$（$a > 0$）

**解**：令 $x = a\sin t$，$dx = a\cos t dt$

$$\int \frac{a\cos t}{a\cos t}dt = \int dt = t + C = \arcsin\frac{x}{a} + C$$

**例3**：求 $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx$（$x > 1$）

**解**：令 $x = \frac{1}{t}$，$dx = -\frac{1}{t^2}dt$

$$= \int \frac{t}{\sqrt{\frac{1}{t^2}-1}} \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right)dt = -\int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt = -\arcsin t + C$$

$$= -\arcsin\frac{1}{x} + C = \arccos\frac{1}{x} + C$$

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## 五、分部积分法

### 5.1 公式

$$\int u dv = uv - \int v du$$

或

$$\int u v' dx = uv - \int u' v dx$$

### 5.2 选择 $u$ 的原则（LIATE法则）

按以下顺序，排在前面的选作 $u$：

1. **L**ogarithmic（对数函数）：$\ln x$，$\log_a x$
2. **I**nverse trigonometric（反三角函数）：$\arcsin x$，$\arctan x$
3. **A**lgebraic（代数函数）：$x^n$，多项式
4. **T**rigonometric（三角函数）：$\sin x$，$\cos x$
5. **E**xponential（指数函数）：$e^x$，$a^x$

口诀：**对反代三指**

### 5.3 常见类型

**类型1**：$\int P_n(x)e^{ax}dx$，$\int P_n(x)\sin ax dx$，$\int P_n(x)\cos ax dx$

选 $u = P_n(x)$（多项式），多次分部积分。

**类型2**：$\int P_n(x)\ln x dx$，$\int P_n(x)\arcsin x dx$，$\int P_n(x)\arctan x dx$

选 $u = \ln x$ 或反三角函数。

**类型3**：$\int e^{ax}\sin bx dx$，$\int e^{ax}\cos bx dx$

两次分部积分，解方程。

### 5.4 例题

**例1**：求 $\int x e^x dx$

**解**：
设 $u = x$，$dv = e^x dx$，则 $du = dx$，$v = e^x$

$$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$$

**例2**：求 $\int x^2 \ln x dx$

**解**：
设 $u = \ln x$，$dv = x^2 dx$，则 $du = \frac{1}{x}dx$，$v = \frac{x^3}{3}$

$$\int x^2 \ln x dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x}dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C$$

**例3**：求 $\int e^x \sin x dx$

**解**：
设 $I = \int e^x \sin x dx$

第一次分部：$u = \sin x$，$dv = e^x dx$
$$I = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx$$

第二次分部：$u = \cos x$，$dv = e^x dx$
$$= e^x \sin x - \left(e^x \cos x + \int e^x \sin x dx\right)$$

$$I = e^x \sin x - e^x \cos x - I$$

$$2I = e^x(\sin x - \cos x)$$

$$I = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C$$

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## 六、有理函数的积分

### 6.1 有理函数

形如 $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ 的函数，其中 $P_n(x)$，$Q_m(x)$ 为多项式。

### 6.2 真分式分解

若 $n \geq m$（假分式），先用多项式除法化为多项式与真分式之和。

真分式可分解为以下**部分分式**之和：

| 分母因子 | 对应部分分式 |
|---------|-------------|
| $(x-a)$ | $\frac{A}{x-a}$ |
| $(x-a)^k$ | $\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \ldots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$ |
| $(x^2+px+q)$（$p^2-4q < 0$）| $\frac{Ax+B}{x^2+px+q}$ |
| $(x^2+px+q)^k$ | $\frac{A_1x+B_1}{x^2+px+q} + \ldots + \frac{A_kx+B_k}{(x^2+px+q)^k}$ |

### 6.3 例题

**例**：求 $\int \frac{1}{x^2-1}dx$

**解**：
$$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)$$

$$\int \frac{1}{x^2-1}dx = \frac{1}{2}(\ln|x-1| - \ln|x+1|) + C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$$

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## 七、三角函数有理式的积分

### 7.1 万能代换

令 $t = \tan\frac{x}{2}$，则

$$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2}dt$$

### 7.2 特殊情况

- 若 $R(-\sin x, \cos x) = -R(\sin x, \cos x)$，令 $t = \cos x$
- 若 $R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)$，令 $t = \sin x$
- 若 $R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)$，令 $t = \tan x$

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## 八、简单无理函数的积分

### 8.1 类型1：$\int R(x, \sqrt[n]{ax+b})dx$

令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$。

### 8.2 类型2：$\int R(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$

令 $t = \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$。

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## 九、考研重点

1. **基本积分公式**：必须熟练记忆
2. **换元积分法**：凑微分（第一类）和换元（第二类）
3. **分部积分法**：选择 $u$ 的技巧
4. **有理函数积分**：部分分式分解
5. **三角函数积分**：万能代换
6. **综合应用**：一道题可能用到多种方法

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*下一节：3.2 定积分*