# 3.2 定积分

## 一、定积分的概念

### 1.1 定积分的定义

设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界。在 $[a, b]$ 中任意插入 $n-1$ 个分点：

$$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b$$

将 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$，长度为 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$。

在每个小区间上任取一点 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$，作和式：

$$S = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$$

记 $\lambda = \max\{\Delta x_1, \Delta x_2, \ldots, \Delta x_n\}$。若当 $\lambda \to 0$ 时，和式 $S$ 的极限存在，且与分法及 $\xi_i$ 的取法无关，则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上**可积**，并称此极限为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的**定积分**，记作：

$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$$

其中：
- $a$ 称为**积分下限**
- $b$ 称为**积分上限**
- $[a, b]$ 称为**积分区间**

### 1.2 定积分的几何意义

- 若 $f(x) \geq 0$，$\int_a^b f(x)dx$ 表示由曲线 $y = f(x)$、直线 $x = a$、$x = b$ 和 $x$ 轴围成的**曲边梯形的面积**
- 若 $f(x) \leq 0$，定积分值为**面积的负值**
- 若 $f(x)$ 有正有负，定积分值为**各部分面积的代数和**

### 1.3 定积分存在的条件

**定理1**：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

**定理2**：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

---

## 二、定积分的性质

### 2.1 基本性质

**性质1**：$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$，特别地，$\int_a^a f(x)dx = 0$

**性质2**：$\int_a^b [f(x) \pm g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx$

**性质3**：$\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx$（$k$ 为常数）

**性质4（区间可加性）**：$\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$

### 2.2 不等式性质

**性质5**：若 $f(x) \geq 0$ 在 $[a, b]$ 上成立，则 $\int_a^b f(x)dx \geq 0$（$a < b$）

**性质6**：若 $f(x) \leq g(x)$ 在 $[a, b]$ 上成立，则 $\int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx$

**性质7**：$\left|\int_a^b f(x)dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|dx$

**性质8（估值定理）**：若 $m \leq f(x) \leq M$ 在 $[a, b]$ 上成立，则

$$m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)$$

### 2.3 积分中值定理

**定理**：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则至少存在一点 $\xi \in [a, b]$，使得

$$\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a)$$

**几何意义**：曲边梯形的面积等于以 $f(\xi)$ 为高的矩形面积。

**推广（第一积分中值定理）**：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积且不变号，则存在 $\xi \in [a, b]$，使得

$$\int_a^b f(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^b g(x)dx$$

---

## 三、微积分基本公式

### 3.1 积分上限函数

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则函数

$$\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt \quad (x \in [a, b])$$

称为**积分上限函数**（或变上限积分）。

### 3.2 积分上限函数的导数

**定理**：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则积分上限函数 $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$ 在 $[a, b]$ 上可导，且

$$\Phi'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x) \quad (a \leq x \leq b)$$

**推广**：

$$\frac{d}{dx}\int_a^{\varphi(x)} f(t)dt = f[\varphi(x)]\varphi'(x)$$

$$\frac{d}{dx}\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t)dt = f[\varphi(x)]\varphi'(x) - f[\psi(x)]\psi'(x)$$

### 3.3 牛顿-莱布尼茨公式

**定理**：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则

$$\int_a^b f(x)dx = F(x)\big|_a^b = F(b) - F(a)$$

**意义**：建立了定积分与不定积分之间的联系，提供了计算定积分的有效方法。

---

## 四、定积分的计算

### 4.1 换元法

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$x = \varphi(t)$ 满足：
1. $\varphi(\alpha) = a$，$\varphi(\beta) = b$
2. $\varphi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$（或 $[\beta, \alpha]$）上具有连续导数
3. 当 $t$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上变化时，$x = \varphi(t)$ 的值在 $[a, b]$ 上

则

$$\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt$$

**注意**：换元必换限，不用回代。

### 4.2 分部积分法

$$\int_a^b u dv = uv\big|_a^b - \int_a^b v du$$

或

$$\int_a^b u v' dx = uv\big|_a^b - \int_a^b u' v dx$$

### 4.3 利用对称性

**定理1**：若 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续，则

$$\int_{-a}^a f(x)dx = \int_0^a [f(x) + f(-x)]dx$$

**定理2**：若 $f(x)$ 是偶函数，则 $\int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$

**定理3**：若 $f(x)$ 是奇函数，则 $\int_{-a}^a f(x)dx = 0$

### 4.4 周期函数的积分

若 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则

$$\int_a^{a+T} f(x)dx = \int_0^T f(x)dx$$

$$\int_a^{a+nT} f(x)dx = n\int_0^T f(x)dx \quad (n \in \mathbb{Z})$$

### 4.5 常用公式

**华里士公式（Wallis公式）**：

$$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx$$

$$I_n = \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{ 为偶数} \\ \frac{(n-1)!!}{n!!}, & n \text{ 为奇数} \end{cases}$$

其中 $n!!$ 表示双阶乘。

**特例**：
- $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 1$
- $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx = \frac{\pi}{4}$
- $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx = \frac{2}{3}$

### 4.6 例题

**例1**：求 $\int_0^1 x^2 dx$

**解**：
$$\int_0^1 x^2 dx = \frac{x^3}{3}\big|_0^1 = \frac{1}{3}$$

**例2**：求 $\int_0^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}}dx$

**解**：令 $t = \sqrt{x}$，$x = t^2$，$dx = 2t dt$

当 $x = 0$ 时，$t = 0$；当 $x = 4$ 时，$t = 2$。

$$\int_0^2 \frac{2t}{1+t}dt = 2\int_0^2 \left(1 - \frac{1}{1+t}\right)dt = 2[t - \ln(1+t)]_0^2 = 2(2 - \ln 3)$$

**例3**：求 $\int_0^\pi x\sin x dx$

**解**：分部积分：
$$= [-x\cos x]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x dx = \pi + [\sin x]_0^\pi = \pi$$

---

## 五、反常积分

### 5.1 无穷区间上的反常积分

**定义1**：设 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续，若极限

$$\int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)dx$$

存在，则称此反常积分**收敛**，否则称**发散**。

**定义2**：类似定义 $\int_{-\infty}^b f(x)dx$ 和 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$。

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int_{-\infty}^a f(x)dx + \int_a^{+\infty} f(x)dx$$

（要求两个积分都收敛）

### 5.2 无界函数的反常积分（瑕积分）

设 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上连续，且 $\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty$，则

$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)dx$$

$a$ 称为**瑕点**。

### 5.3 敛散性判别

**比较判别法**：设 $0 \leq f(x) \leq g(x)$，则
- 若 $\int_a^{+\infty} g(x)dx$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty} f(x)dx$ 收敛
- 若 $\int_a^{+\infty} f(x)dx$ 发散，则 $\int_a^{+\infty} g(x)dx$ 发散

**p-积分**：
- $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx$：$p > 1$ 收敛，$p \leq 1$ 发散
- $\int_0^1 \frac{1}{x^p}dx$：$p < 1$ 收敛，$p \geq 1$ 发散

---

## 六、定积分的应用

### 6.1 平面图形的面积

**直角坐标**：
- 由 $y = f(x)$，$y = g(x)$，$x = a$，$x = b$ 围成（$f(x) \geq g(x)$）：
$$S = \int_a^b [f(x) - g(x)]dx$$

**极坐标**：
- 由 $r = r(\theta)$，$\theta = \alpha$，$\theta = \beta$ 围成：
$$S = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\theta$$

### 6.2 旋转体的体积

**绕x轴旋转**：
$$V_x = \pi\int_a^b [f(x)]^2dx$$

**绕y轴旋转**（柱壳法）：
$$V_y = 2\pi\int_a^b x|f(x)|dx$$

### 6.3 平面曲线的弧长

**直角坐标**：$y = f(x)$，$a \leq x \leq b$
$$s = \int_a^b \sqrt{1 + y'^2}dx$$

**参数方程**：$x = x(t)$，$y = y(t)$，$\alpha \leq t \leq \beta$
$$s = \int_\alpha^\beta \sqrt{x'^2 + y'^2}dt$$

**极坐标**：$r = r(\theta)$，$\alpha \leq \theta \leq \beta$
$$s = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2 + r'^2}d\theta$$

---

## 七、考研重点

1. **定积分的定义**：理解黎曼和的概念
2. **微积分基本公式**：牛顿-莱布尼茨公式
3. **变限积分求导**：常考题型
4. **定积分的计算**：换元法、分部积分
5. **对称性的应用**：奇偶函数、周期函数
6. **华里士公式**：计算三角函数积分
7. **反常积分**：敛散性判别
8. **定积分的应用**：面积、体积、弧长

---

*下一节：3.3 定积分的应用（详细）*