# 3.3 定积分的应用

## 一、平面图形的面积

### 1.1 直角坐标系

**情形1**：由曲线 $y = f(x)$、$x$ 轴、直线 $x = a$ 和 $x = b$ 围成

$$S = \int_a^b |f(x)|dx$$

若 $f(x) \geq 0$，则 $S = \int_a^b f(x)dx$

**情形2**：由两条曲线 $y = f(x)$、$y = g(x)$ 和直线 $x = a$、$x = b$ 围成（$f(x) \geq g(x)$）

$$S = \int_a^b [f(x) - g(x)]dx$$

**情形3**：由曲线 $x = \varphi(y)$、$y$ 轴、直线 $y = c$ 和 $y = d$ 围成

$$S = \int_c^d |\varphi(y)|dy$$

### 1.2 极坐标系

由曲线 $r = r(\theta)$ 和射线 $\theta = \alpha$、$\theta = \beta$ 围成

$$S = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\theta$$

**特例**：
- 圆 $r = a$：$S = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} a^2 d\theta = \pi a^2$
- 心形线 $r = a(1 + \cos\theta)$：$S = \frac{3\pi a^2}{2}$

### 1.3 例题

**例1**：求由抛物线 $y = x^2$ 和 $y = 2x - x^2$ 围成的面积。

**解**：
求交点：$x^2 = 2x - x^2$，得 $x = 0$ 或 $x = 1$

在 $[0, 1]$ 上，$2x - x^2 \geq x^2$

$$S = \int_0^1 [(2x - x^2) - x^2]dx = \int_0^1 (2x - 2x^2)dx$$

$$= [x^2 - \frac{2x^3}{3}]_0^1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$

**例2**：求椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的面积。

**解**：
由对称性，$S = 4\int_0^a y dx = 4\int_0^a b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}dx$

令 $x = a\sin t$，$dx = a\cos t dt$

$$S = 4b\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t \cdot a\cos t dt = 4ab\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt$$

$$= 4ab \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \pi ab$$

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## 二、旋转体的体积

### 2.1 绕x轴旋转

由曲线 $y = f(x)$、$x$ 轴、直线 $x = a$ 和 $x = b$ 围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周

$$V_x = \pi\int_a^b [f(x)]^2dx$$

### 2.2 绕y轴旋转（柱壳法）

由曲线 $y = f(x)$、$x$ 轴、直线 $x = a$ 和 $x = b$ 围成的曲边梯形绕 $y$ 轴旋转一周

$$V_y = 2\pi\int_a^b x|f(x)|dx$$

### 2.3 绕y轴旋转（圆盘法）

若表示为 $x = \varphi(y)$，$c \leq y \leq d$

$$V_y = \pi\int_c^d [\varphi(y)]^2dy$$

### 2.4 例题

**例1**：求由 $y = \sqrt{x}$、$x = 1$、$x = 4$ 和 $x$ 轴围成的区域绕 $x$ 轴旋转的体积。

**解**：
$$V_x = \pi\int_1^4 (\sqrt{x})^2dx = \pi\int_1^4 x dx = \pi[\frac{x^2}{2}]_1^4 = \pi(8 - \frac{1}{2}) = \frac{15\pi}{2}$$

**例2**：求由 $y = x^2$、$y = 0$、$x = 1$ 围成的区域绕 $y$ 轴旋转的体积。

**解**：
**方法一（柱壳法）**：
$$V_y = 2\pi\int_0^1 x \cdot x^2 dx = 2\pi\int_0^1 x^3 dx = 2\pi[\frac{x^4}{4}]_0^1 = \frac{\pi}{2}$$

**方法二（圆盘法）**：
$y = x^2$ 即 $x = \sqrt{y}$，$0 \leq y \leq 1$

$$V_y = \pi\int_0^1 (1^2 - (\sqrt{y})^2)dy = \pi\int_0^1 (1 - y)dy = \pi[y - \frac{y^2}{2}]_0^1 = \frac{\pi}{2}$$

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## 三、平面曲线的弧长

### 3.1 直角坐标

曲线 $y = f(x)$，$a \leq x \leq b$，$f(x)$ 有连续导数

$$s = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}dx$$

### 3.2 参数方程

曲线 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$，$\alpha \leq t \leq \beta$

$$s = \int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}dt$$

### 3.3 极坐标

曲线 $r = r(\theta)$，$\alpha \leq \theta \leq \beta$

$$s = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2 + (r')^2}d\theta$$

### 3.4 例题

**例**：求抛物线 $y = x^2$ 从 $x = 0$ 到 $x = 1$ 的弧长。

**解**：
$$y' = 2x$$
$$s = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2}dx$$

令 $2x = \tan t$，$dx = \frac{1}{2}\sec^2 t dt$

当 $x = 0$ 时，$t = 0$；当 $x = 1$ 时，$t = \arctan 2$

$$s = \int_0^{\arctan 2} \sqrt{1 + \tan^2 t} \cdot \frac{1}{2}\sec^2 t dt = \frac{1}{2}\int_0^{\arctan 2} \sec^3 t dt$$

利用公式 $\int \sec^3 t dt = \frac{1}{2}(\sec t \tan t + \ln|\sec t + \tan t|) + C$：

$$s = \frac{1}{4}[\sec t \tan t + \ln|\sec t + \tan t|]_0^{\arctan 2}$$

$$= \frac{1}{4}[2\sqrt{5} + \ln(2 + \sqrt{5})]$$

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## 四、旋转曲面的面积

### 4.1 绕x轴旋转

曲线 $y = f(x)$（$f(x) \geq 0$），$a \leq x \leq b$ 绕 $x$ 轴旋转

$$S = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2}dx$$

### 4.2 绕y轴旋转

$$S = 2\pi\int_a^b x\sqrt{1 + [f'(x)]^2}dx$$

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## 五、物理应用

### 5.1 变力做功

物体在变力 $F(x)$ 作用下从 $a$ 移动到 $b$

$$W = \int_a^b F(x)dx$$

### 5.2 液体压力

液体密度为 $\rho$，深度为 $h$ 处的压强为 $p = \rho g h$

平板垂直放入液体中，一侧所受压力

$$P = \int_a^b \rho g x \cdot f(x)dx$$

其中 $f(x)$ 为在深度 $x$ 处平板的宽度。

### 5.3 引力

质点与细杆之间的引力

### 5.4 质心（形心）

平面薄片的质心坐标：

$$\bar{x} = \frac{\int_a^b x f(x)dx}{\int_a^b f(x)dx}, \quad \bar{y} = \frac{\frac{1}{2}\int_a^b [f(x)]^2dx}{\int_a^b f(x)dx}$$

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## 六、考研重点题型

### 6.1 面积计算

**关键**：确定积分变量，正确找出上下限和被积函数。

**技巧**：
- 画出图形，确定边界
- 选择合适的积分变量（使计算简单）
- 利用对称性简化计算

### 6.2 体积计算

**关键**：选择正确的方法（圆盘法或柱壳法）。

**原则**：
- 绕 $x$ 轴旋转，被积函数为 $\pi y^2$，积分变量为 $x$
- 绕 $y$ 轴旋转，可用柱壳法（被积函数为 $2\pi xy$）或圆盘法

### 6.3 弧长计算

**注意**：弧长公式中的被积函数通常较复杂，可能需要换元或数值计算。

### 6.4 典型例题

**例**：求由 $y = \ln x$、$y = 0$、$x = e$ 围成的区域

(1) 面积；(2) 绕 $x$ 轴旋转的体积；(3) 绕 $y$ 轴旋转的体积。

**解**：

**(1) 面积**：
$$S = \int_1^e \ln x dx = [x\ln x - x]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1$$

**(2) 绕 $x$ 轴旋转的体积**：
$$V_x = \pi\int_1^e (\ln x)^2dx$$

分部积分两次：
$$= \pi[x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x]_1^e = \pi(e - 2e + 2e - 2) = \pi(e - 2)$$

**(3) 绕 $y$ 轴旋转的体积**：

**方法一（柱壳法）**：
$$V_y = 2\pi\int_1^e x\ln x dx = 2\pi[\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}]_1^e = 2\pi(\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{\pi(e^2 + 1)}{2}$$

**方法二（圆盘法）**：
$y = \ln x$ 即 $x = e^y$，$0 \leq y \leq 1$

$$V_y = \pi\int_0^1 (e^2 - e^{2y})dy = \pi[e^2 y - \frac{e^{2y}}{2}]_0^1 = \pi(e^2 - \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{\pi(e^2 + 1)}{2}$$

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## 七、解题技巧

### 7.1 选择积分变量

- 若边界表示为 $y = f(x)$ 更方便，选 $x$ 为积分变量
- 若边界表示为 $x = g(y)$ 更方便，选 $y$ 为积分变量

### 7.2 利用对称性

- 奇函数在对称区间上积分为0
- 偶函数在对称区间上积分可简化

### 7.3 分段函数

- 根据函数表达式分段积分
- 注意绝对值的处理

### 7.4 参数方程和极坐标

- 熟悉常见曲线的参数方程和极坐标方程
- 掌握相应的弧长和面积公式

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## 八、考研重点

1. **平面图形的面积**：直角坐标和极坐标
2. **旋转体的体积**：圆盘法和柱壳法
3. **平面曲线的弧长**：三种坐标系
4. **物理应用**：变力做功、液体压力
5. **综合题**：一道题涉及多个知识点
6. **计算能力**：定积分的计算技巧

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*第三章完*