# 4.1 多元函数的概念与极限

## 一、多元函数的概念

### 1.1 二元函数的定义

设 $D$ 是平面上的一个点集。如果对于每个点 $P(x, y) \in D$，变量 $z$ 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 $z$ 是变量 $x, y$ 的**二元函数**，记作：

$$z = f(x, y), \quad (x, y) \in D$$

或

$$z = f(P), \quad P \in D$$

其中：
- $x, y$ 称为**自变量**
- $z$ 称为**因变量**
- $D$ 称为函数的**定义域**

### 1.2 多元函数

类似地，可以定义**三元函数** $u = f(x, y, z)$ 和一般的**n元函数** $u = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$。

### 1.3 二元函数的几何意义

二元函数 $z = f(x, y)$ 的图形是空间中的一张**曲面**。

- 定义域 $D$ 是 $xy$ 平面上的一个区域
- 对于 $D$ 中的每一点 $(x, y)$，对应空间中的一个点 $(x, y, f(x, y))$
- 所有这些点的集合构成曲面

**例子**：
- $z = x^2 + y^2$：旋转抛物面
- $z = \sqrt{x^2 + y^2}$：圆锥面
- $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$：上半球面

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## 二、平面区域

### 2.1 邻域

**点的邻域**：设 $P_0(x_0, y_0)$ 是平面上一点，$\delta > 0$。点 $P_0$ 的**$\delta$邻域**是指：

$$U(P_0, \delta) = \{(x, y) \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta\}$$

即与 $P_0$ 距离小于 $\delta$ 的点的集合（不含边界）。

**去心邻域**：

$$\mathring{U}(P_0, \delta) = \{(x, y) \mid 0 < \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta\}$$

### 2.2 区域

**开集**：如果点集 $E$ 中的每一点都是 $E$ 的内点，则称 $E$ 为**开集**。

**区域**：连通的开集称为**区域**（或开区域）。

**闭区域**：开区域连同它的边界称为**闭区域**。

### 2.3 有界性

**有界区域**：如果存在正数 $M$，使得区域 $D$ 中任意一点到原点的距离都小于 $M$，则称 $D$ 为**有界区域**。

**无界区域**：否则称为**无界区域**。

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## 三、二元函数的极限

### 3.1 二重极限的定义

设函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当

$$0 < \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$$

时，都有

$$|f(x, y) - A| < \varepsilon$$

则称常数 $A$ 为函数 $f(x, y)$ 当 $(x, y) \to (x_0, y_0)$ 时的**极限**，记作：

$$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A$$

或

$$\lim_{P \to P_0} f(P) = A$$

### 3.2 与一元函数极限的区别

**关键区别**：二元函数的极限要求点 $(x, y)$ 以**任意方式**趋于 $(x_0, y_0)$ 时，$f(x, y)$ 都趋于 $A$。

- 一元函数：$x \to x_0$ 只有两种方式（左、右）
- 二元函数：$(x, y) \to (x_0, y_0)$ 有无穷多种方式

### 3.3 极限不存在的判定

如果点 $(x, y)$ 沿**两条不同路径**趋于 $(x_0, y_0)$ 时，$f(x, y)$ 趋于**不同的值**，则极限不存在。

**常用路径**：
- 沿 $x$ 轴：$y = 0$，$x \to x_0$
- 沿 $y$ 轴：$x = 0$，$y \to y_0$
- 沿直线 $y = kx$：$x \to x_0$
- 沿抛物线 $y = kx^2$ 等

### 3.4 例题

**例1**：求 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$

**解**：
由于 $\left|\frac{x^2 y}{x^2 + y^2}\right| \leq |y| \to 0$（当 $(x, y) \to (0, 0)$）

所以极限为 $0$。

**例2**：讨论 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$ 是否存在。

**解**：
沿 $y = kx$ 路径：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot kx}{x^2 + k^2 x^2} = \frac{k}{1 + k^2}$$

结果与 $k$ 有关，所以**极限不存在**。

**例3**：讨论 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ 是否存在。

**解**：
沿 $y = kx$：极限为 $0$
沿 $y = x^2$：$\lim_{x \to 0} \frac{x^4}{x^4 + x^4} = \frac{1}{2}$

结果不同，所以**极限不存在**。

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## 四、二元函数的连续性

### 4.1 连续的定义

设函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义。如果

$$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$$

则称 $f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处**连续**。

### 4.2 连续函数的性质

**性质1**：二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。

**性质2**：二元连续函数的复合函数是连续函数。

**性质3**：多元初等函数在其定义区域内是连续的。

### 4.3 有界闭区域上连续函数的性质

**最值定理**：若 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上必取得最大值和最小值。

**介值定理**：若 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，$M$ 和 $m$ 分别是最大值和最小值，则对于 $m$ 与 $M$ 之间的任意数 $\mu$，存在 $(\xi, \eta) \in D$，使得 $f(\xi, \eta) = \mu$。

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## 五、考研重点

1. **二元函数的定义域**：求定义域的方法
2. **二重极限**：理解极限存在的条件
3. **证明极限不存在**：沿不同路径趋于不同值
4. **求二重极限**：利用有界量乘无穷小、夹逼准则等
5. **连续性**：判断函数在某点是否连续
6. **有界闭区域上连续函数的性质**：最值、介值

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*下一节：4.2 偏导数*