# 4.2 偏导数

## 一、偏导数的概念

### 1.1 偏导数的定义

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义。

**对 $x$ 的偏导数**：

若极限

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$$

存在，则称此极限为函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处**对 $x$ 的偏导数**，记作：

$$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x_0, y_0)}, \quad \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0, y_0)}, \quad f_x(x_0, y_0), \quad z_x(x_0, y_0)$$

**对 $y$ 的偏导数**：

类似地定义对 $y$ 的偏导数：

$$f_y(x_0, y_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}$$

记作：$\frac{\partial z}{\partial y}$，$\frac{\partial f}{\partial y}$，$f_y$，$z_y$

### 1.2 偏导函数

若函数 $z = f(x, y)$ 在区域 $D$ 内每一点 $(x, y)$ 处对 $x$（或对 $y$）的偏导数都存在，则称 $f_x(x, y)$ 和 $f_y(x, y)$ 为**偏导函数**。

### 1.3 几何意义

- $f_x(x_0, y_0)$：曲面 $z = f(x, y)$ 与平面 $y = y_0$ 的交线在点 $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ 处切线对 $x$ 轴的斜率
- $f_y(x_0, y_0)$：曲面 $z = f(x, y)$ 与平面 $x = x_0$ 的交线在点 $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ 处切线对 $y$ 轴的斜率

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## 二、偏导数的计算

### 2.1 计算方法

求 $f_x(x, y)$：将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导。

求 $f_y(x, y)$：将 $x$ 视为常数，对 $y$ 求导。

### 2.2 例题

**例1**：求 $z = x^2 y + y^3$ 的偏导数

**解**：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy$$
$$\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 3y^2$$

**例2**：求 $z = x^y$（$x > 0$）的偏导数

**解**：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = yx^{y-1}$$（幂函数求导）
$$\frac{\partial z}{\partial y} = x^y \ln x$$（指数函数求导）

**例3**：求 $z = \sin(xy)$ 在点 $(1, \frac{\pi}{2})$ 处的偏导数

**解**：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = y\cos(xy)$$
$$\frac{\partial z}{\partial y} = x\cos(xy)$$

在 $(1, \frac{\pi}{2})$ 处：
$$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1, \frac{\pi}{2})} = \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} = 0$$
$$\frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(1, \frac{\pi}{2})} = 1 \cdot \cos\frac{\pi}{2} = 0$$

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## 三、高阶偏导数

### 3.1 二阶偏导数

设函数 $z = f(x, y)$ 在区域 $D$ 内具有偏导数：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = f_x(x, y), \quad \frac{\partial z}{\partial y} = f_y(x, y)$$

若这两个偏导函数仍可偏导，则称它们的偏导数为 $z = f(x, y)$ 的**二阶偏导数**。

共有四个二阶偏导数：

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = f_{xx}(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = f_{xy}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_{yx}(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = f_{yy}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)$$

其中 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 称为**混合偏导数**。

### 3.2 混合偏导数相等的条件

**定理**：若 $f_{xy}(x, y)$ 和 $f_{yx}(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处都连续，则

$$f_{xy}(x, y) = f_{yx}(x, y)$$

即：**在连续条件下，混合偏导数与求导次序无关**。

### 3.3 例题

**例**：求 $z = x^3 y^2$ 的所有二阶偏导数

**解**：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 y^2$$
$$\frac{\partial z}{\partial y} = 2x^3 y$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6xy^2$$
$$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2x^3$$
$$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 6x^2 y$$
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 6x^2 y$$

可见 $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。

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## 四、偏导数与连续性的关系

### 4.1 重要结论

**一元函数**：可导 $\Rightarrow$ 连续

**多元函数**：偏导数存在 **$\nRightarrow$** 连续

### 4.2 反例

$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$$

**验证**：
- $f_x(0, 0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x, 0) - f(0, 0)}{\Delta x} = 0$
- $f_y(0, 0) = 0$

偏导数存在，但 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ 不存在（沿 $y = kx$ 趋于不同值），所以不连续。

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## 五、考研重点

1. **偏导数的定义**：理解偏导数的本质
2. **偏导数的计算**：将其他变量视为常数
3. **高阶偏导数**：特别是混合偏导数
4. **混合偏导数相等**：连续条件下相等
5. **偏导数与连续性的关系**：偏导存在不一定连续
6. **分段函数在分段点处的偏导数**：用定义求

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*下一节：4.3 全微分*