# 4.3 全微分

## 一、全微分的概念

### 1.1 全微分的定义

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内有定义。若函数在点 $(x, y)$ 的全增量

$$\Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)$$

可以表示为

$$\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$$

其中 $A, B$ 不依赖于 $\Delta x, \Delta y$，仅与 $x, y$ 有关，$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，则称函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处**可微**。

称 $A\Delta x + B\Delta y$ 为函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处的**全微分**，记作：

$$dz = A\Delta x + B\Delta y$$

### 1.2 可微的必要条件

**定理1**：若函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微，则：

1. $f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处连续
2. $f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处的偏导数存在，且
   $$A = \frac{\partial z}{\partial x}, \quad B = \frac{\partial z}{\partial y}$$

因此，全微分可以写成：

$$dz = \frac{\partial z}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$$

或

$$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$$

（习惯上记 $\Delta x = dx$，$\Delta y = dy$）

### 1.3 可微的充分条件

**定理2**：若函数 $z = f(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x, y)$ 处连续，则函数在该点**可微**。

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## 二、可微、偏导存在、连续的关系

### 2.1 关系图

```
偏导数连续
    ↓
可微
    ↓
偏导数存在
    ↓
连续
```

### 2.2 重要说明

- **偏导数存在** $\nRightarrow$ **可微**
- **可微** $\Rightarrow$ **偏导数存在**
- **偏导数连续** $\Rightarrow$ **可微**
- **可微** $\Rightarrow$ **连续**

### 2.3 反例

**例1**：偏导数存在但不可微

$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$$

在 $(0, 0)$ 处：
- $f_x(0, 0) = 0$，$f_y(0, 0) = 0$（偏导数存在）
- 但不可微（验证略）

**例2**：可微但偏导数不连续

（构造较复杂，考研中较少涉及）

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## 三、全微分的计算

### 3.1 计算公式

$$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$$

### 3.2 例题

**例1**：求 $z = x^2 y + y^3$ 的全微分

**解**：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 3y^2$$

$$dz = 2xy dx + (x^2 + 3y^2)dy$$

**例2**：求 $z = e^{xy}$ 在点 $(1, 2)$ 处的全微分

**解**：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = ye^{xy}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = xe^{xy}$$

在 $(1, 2)$ 处：
$$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,2)} = 2e^2, \quad \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(1,2)} = e^2$$

$$dz\big|_{(1,2)} = 2e^2 dx + e^2 dy = e^2(2dx + dy)$$

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## 四、全微分形式不变性

### 4.1 一元函数的微分形式不变性

设 $y = f(u)$，$u = \varphi(x)$，则

$$dy = f'(u)du = f'(u)\varphi'(x)dx$$

无论 $u$ 是自变量还是中间变量，微分形式 $dy = f'(u)du$ 保持不变。

### 4.2 多元函数的微分形式不变性

设 $z = f(u, v)$，$u = u(x, y)$，$v = v(x, y)$，则

$$dz = \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv$$

无论 $u, v$ 是自变量还是中间变量，全微分形式保持不变。

### 4.3 应用

利用全微分形式不变性可以方便地求复合函数的偏导数。

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## 五、全微分在近似计算中的应用

### 5.1 近似公式

当 $|\Delta x|$，$|\Delta y|$ 很小时：

$$\Delta z \approx dz = \frac{\partial z}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$$

$$f(x + \Delta x, y + \Delta y) \approx f(x, y) + \frac{\partial z}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$$

### 5.2 例题

**例**：计算 $(1.02)^{2.01}$ 的近似值

**解**：
设 $f(x, y) = x^y$，取 $x = 1$，$y = 2$，$\Delta x = 0.02$，$\Delta y = 0.01$

$$\frac{\partial f}{\partial x} = yx^{y-1}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x^y \ln x$$

在 $(1, 2)$ 处：
$$\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(1,2)} = 2, \quad \frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(1,2)} = 0$$

$$f(1.02, 2.01) \approx f(1, 2) + 2 \cdot 0.02 + 0 \cdot 0.01 = 1 + 0.04 = 1.04$$

（精确值约为 $1.0406$）

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## 六、考研重点

1. **全微分的定义**：理解可微的概念
2. **可微的判定**：偏导数连续则可微
3. **可微、偏导、连续的关系**：掌握关系图
4. **全微分的计算**：$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$
5. **全微分形式不变性**：复合函数求导的应用
6. **近似计算**：利用全微分进行估算

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*下一节：4.4 多元复合函数求导*