# 4.5 隐函数求导

## 一、一元隐函数

### 1.1 隐函数的存在定理

设函数 $F(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0, y_0) = 0$，$F_y(x_0, y_0) \neq 0$，则方程 $F(x, y) = 0$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内唯一确定一个具有连续导数的函数 $y = f(x)$，满足 $y_0 = f(x_0)$，且

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$$

### 1.2 求导方法

**方法一：公式法**

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$$

**方法二：直接求导法**

方程 $F(x, y) = 0$ 两边对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数），解出 $\frac{dy}{dx}$。

### 1.3 例题

**例**：设 $x^2 + y^2 = 1$，求 $\frac{dy}{dx}$。

**解**：

**方法一（公式法）**：
设 $F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$

$$F_x = 2x, \quad F_y = 2y$$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$$

**方法二（直接求导法）**：
两边对 $x$ 求导：
$$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$

解得：
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

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## 二、二元隐函数

### 2.1 隐函数的存在定理

设函数 $F(x, y, z)$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的某邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0, y_0, z_0) = 0$，$F_z(x_0, y_0, z_0) \neq 0$，则方程 $F(x, y, z) = 0$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的某邻域内唯一确定一个具有连续偏导数的函数 $z = f(x, y)$，满足 $z_0 = f(x_0, y_0)$，且

$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$$

### 2.2 求导方法

**方法一：公式法**

$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$$

**方法二：直接求导法**

方程 $F(x, y, z) = 0$ 两边对 $x$ 求偏导（注意 $z$ 是 $x, y$ 的函数），解出 $\frac{\partial z}{\partial x}$。

同理求 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

**方法三：全微分法**

方程两边求全微分，解出 $dz$，从而得到偏导数。

### 2.3 例题

**例**：设 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

**解**：

**方法一（公式法）**：
设 $F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$

$$F_x = 2x, \quad F_y = 2y, \quad F_z = 2z$$

$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{2z} = -\frac{x}{z}$$
$$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2y}{2z} = -\frac{y}{z}$$

**方法二（直接求导法）**：
两边对 $x$ 求偏导：
$$2x + 2z\frac{\partial z}{\partial x} = 0$$
解得：$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$

两边对 $y$ 求偏导：
$$2y + 2z\frac{\partial z}{\partial y} = 0$$
解得：$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{z}$

**方法三（全微分法）**：
两边求全微分：
$$2x dx + 2y dy + 2z dz = 0$$
$$dz = -\frac{x}{z}dx - \frac{y}{z}dy$$

所以：$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{z}$

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## 三、方程组确定的隐函数

### 3.1 两个方程的情形

设方程组
$$\begin{cases} F(x, y, u, v) = 0 \\ G(x, y, u, v) = 0 \end{cases}$$

确定 $u, v$ 是 $x, y$ 的函数，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$，$\frac{\partial v}{\partial x}$。

### 3.2 求导方法

方程组两边对 $x$ 求偏导：

$$\begin{cases} F_x + F_u\frac{\partial u}{\partial x} + F_v\frac{\partial v}{\partial x} = 0 \\ G_x + G_u\frac{\partial u}{\partial x} + G_v\frac{\partial v}{\partial x} = 0 \end{cases}$$

这是关于 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial x}$ 的线性方程组，用克莱默法则求解。

### 3.3 雅可比行列式

$$J = \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} F_u & F_v \\ G_u & G_v \end{vmatrix} = F_u G_v - F_v G_u$$

当 $J \neq 0$ 时，

$$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{J}\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)} = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} F_x & F_v \\ G_x & G_v \end{vmatrix}$$

$$\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{1}{J}\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)} = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} F_u & F_x \\ G_u & G_x \end{vmatrix}$$

### 3.4 例题

**例**：设 $\begin{cases} xu - yv = 0 \\ yu + xv = 1 \end{cases}$，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$，$\frac{\partial v}{\partial x}$。

**解**：
设 $F = xu - yv = 0$，$G = yu + xv - 1 = 0$

$$F_x = u, \quad F_u = x, \quad F_v = -y$$
$$G_x = v, \quad G_u = y, \quad G_v = x$$

$$J = \begin{vmatrix} x & -y \\ y & x \end{vmatrix} = x^2 + y^2$$

$$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{x^2+y^2}\begin{vmatrix} u & -y \\ v & x \end{vmatrix} = -\frac{ux + vy}{x^2+y^2}$$

$$\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{1}{x^2+y^2}\begin{vmatrix} x & u \\ y & v \end{vmatrix} = -\frac{xv - yu}{x^2+y^2} = \frac{yu - xv}{x^2+y^2}$$

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## 四、隐函数的高阶偏导数

### 4.1 方法

先求出一阶偏导数，再对一阶偏导数继续求偏导。

注意：一阶偏导数中可能仍含有隐函数，需要代入。

### 4.2 例题

**例**：设 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$。

**解**：
已求得 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{x}{z}\right) = -\frac{z - x\frac{\partial z}{\partial x}}{z^2}$$

$$= -\frac{z - x(-\frac{x}{z})}{z^2} = -\frac{z + \frac{x^2}{z}}{z^2} = -\frac{z^2 + x^2}{z^3}$$

由 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$，得 $z^2 + x^2 = 1 - y^2$

所以：$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{1 - y^2}{z^3}$

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## 五、考研重点

1. **一元隐函数求导**：公式法和直接求导法
2. **二元隐函数求导**：三种方法（公式法、直接求导法、全微分法）
3. **方程组确定的隐函数**：雅可比行列式
4. **高阶偏导数**：注意代入
5. **隐函数存在定理**：理解条件

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*下一节：4.6 多元函数的极值*