# 4.6 多元函数的极值

## 一、极值的定义

### 1.1 二元函数极值

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义。

- 若对该邻域内任意 $(x, y) \neq (x_0, y_0)$，有 $f(x, y) < f(x_0, y_0)$，则 $f(x_0, y_0)$ 为**极大值**
- 若对该邻域内任意 $(x, y) \neq (x_0, y_0)$，有 $f(x, y) > f(x_0, y_0)$，则 $f(x_0, y_0)$ 为**极小值**

极大值和极小值统称为**极值**，使函数取得极值的点称为**极值点**。

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## 二、极值的必要条件

### 2.1 定理

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处具有偏导数，且在 $(x_0, y_0)$ 处取得极值，则

$$f_x(x_0, y_0) = 0, \quad f_y(x_0, y_0) = 0$$

### 2.2 驻点

使 $f_x(x, y) = 0$ 且 $f_y(x, y) = 0$ 的点称为**驻点**（或稳定点、临界点）。

**注意**：
- 具有偏导数的极值点必是驻点
- 驻点不一定是极值点（如 $f(x, y) = x^2 - y^2$ 在 $(0, 0)$）
- 偏导数不存在的点也可能是极值点

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## 三、极值的充分条件

### 3.1 定理

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 $f_x(x_0, y_0) = 0$，$f_y(x_0, y_0) = 0$。

令
$$A = f_{xx}(x_0, y_0), \quad B = f_{xy}(x_0, y_0), \quad C = f_{yy}(x_0, y_0)$$

则：

1. 当 $AC - B^2 > 0$ 时，函数在 $(x_0, y_0)$ 处取得极值：
   - $A < 0$ 时为**极大值**
   - $A > 0$ 时为**极小值**

2. 当 $AC - B^2 < 0$ 时，函数在 $(x_0, y_0)$ 处**无极值**

3. 当 $AC - B^2 = 0$ 时，**不能确定**，需另作讨论

### 3.2 判别式

$\Delta = AC - B^2$ 称为**判别式**（或海森矩阵的行列式）。

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## 四、求极值的步骤

1. **求驻点**：解方程组
   $$\begin{cases} f_x(x, y) = 0 \\ f_y(x, y) = 0 \end{cases}$$

2. **计算二阶偏导数**：求 $f_{xx}$，$f_{xy}$，$f_{yy}$

3. **判断**：对每个驻点，计算 $A$，$B$，$C$ 和 $\Delta = AC - B^2$，用充分条件判断

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## 五、例题

### 例1：求极值

求 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ 的极值。

**解**：

**第一步：求驻点**
$$f_x = 3x^2 - 3y = 0 \Rightarrow y = x^2$$
$$f_y = 3y^2 - 3x = 0$$

代入：$3x^4 - 3x = 0$，$3x(x^3 - 1) = 0$

$x = 0$ 或 $x = 1$

- $x = 0$ 时，$y = 0$，驻点 $(0, 0)$
- $x = 1$ 时，$y = 1$，驻点 $(1, 1)$

**第二步：计算二阶偏导数**
$$f_{xx} = 6x, \quad f_{xy} = -3, \quad f_{yy} = 6y$$

**第三步：判断**

在 $(0, 0)$：
$$A = 0, \quad B = -3, \quad C = 0$$
$$\Delta = AC - B^2 = 0 - 9 = -9 < 0$$

所以 $(0, 0)$ **不是极值点**（鞍点）。

在 $(1, 1)$：
$$A = 6, \quad B = -3, \quad C = 6$$
$$\Delta = 36 - 9 = 27 > 0$$

且 $A = 6 > 0$，所以 $f(1, 1) = 1 + 1 - 3 = -1$ 为**极小值**。

### 例2：求极值

求 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y$ 的极值。

**解**：
$$f_x = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$$
$$f_y = 2y - 4 = 0 \Rightarrow y = 2$$

驻点 $(1, 2)$

$$f_{xx} = 2, \quad f_{xy} = 0, \quad f_{yy} = 2$$

$$A = 2, \quad B = 0, \quad C = 2$$
$$\Delta = 4 - 0 = 4 > 0$$

且 $A = 2 > 0$，所以 $f(1, 2) = 1 + 4 - 2 - 8 = -5$ 为**极小值**。

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## 六、最值问题

### 6.1 有界闭区域上的最值

若 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上必有最大值和最小值。

**求法**：
1. 求 $D$ 内部所有驻点的函数值
2. 求 $D$ 边界上的最值
3. 比较上述函数值，最大者为最大值，最小者为最小值

### 6.2 例题

求 $f(x, y) = x^2 + 2y^2 - x^2y^2$ 在区域 $D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leq 4, y \geq 0\}$ 上的最值。

**解**：

**内部驻点**：
$$f_x = 2x - 2xy^2 = 2x(1 - y^2) = 0$$
$$f_y = 4y - 2x^2y = 2y(2 - x^2) = 0$$

解得：$(0, 0)$，$(\sqrt{2}, 1)$，$(-\sqrt{2}, 1)$

函数值：$f(0, 0) = 0$，$f(\pm\sqrt{2}, 1) = 2 + 2 - 2 = 2$

**边界**：

边界1：$y = 0$，$-2 \leq x \leq 2$
$f(x, 0) = x^2$，最大值 $f(\pm 2, 0) = 4$，最小值 $f(0, 0) = 0$

边界2：$x^2 + y^2 = 4$，$y \geq 0$
用拉格朗日乘数法或参数法求解（略）

比较得：最大值为 $4$，最小值为 $0$。

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## 七、条件极值与拉格朗日乘数法

### 7.1 条件极值

求函数 $z = f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y) = 0$ 下的极值。

### 7.2 拉格朗日乘数法

**步骤**：
1. 构造拉格朗日函数：$L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \varphi(x, y)$
2. 求偏导并令其为零：
   $$\begin{cases} L_x = f_x + \lambda \varphi_x = 0 \\ L_y = f_y + \lambda \varphi_y = 0 \\ L_\lambda = \varphi(x, y) = 0 \end{cases}$$
3. 解方程组，得到可能的极值点
4. 判断是否为极值（根据实际问题或进一步分析）

### 7.3 推广到多个约束

求 $u = f(x, y, z)$ 在约束 $\varphi(x, y, z) = 0$ 和 $\psi(x, y, z) = 0$ 下的极值。

构造：$L = f + \lambda \varphi + \mu \psi$

### 7.4 例题

**例**：求原点到曲面 $x^2 + y^2 - z = 0$ 的最短距离。

**解**：
求 $d^2 = x^2 + y^2 + z^2$ 在约束 $x^2 + y^2 - z = 0$ 下的最小值。

构造：$L = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda(x^2 + y^2 - z)$

$$\begin{cases} L_x = 2x + 2\lambda x = 0 \\ L_y = 2y + 2\lambda y = 0 \\ L_z = 2z - \lambda = 0 \\ x^2 + y^2 - z = 0 \end{cases}$$

解得：$x = y = 0$，$z = 0$ 或 $x = y = 0$，$z = \frac{1}{2}$（舍去，不满足约束）

最短距离为 $0$（原点在曲面上）。

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## 八、考研重点

1. **极值的必要条件**：驻点的求法
2. **极值的充分条件**：$AC - B^2$ 的判别
3. **最值问题**：内部驻点 + 边界
4. **条件极值**：拉格朗日乘数法
5. **实际应用问题**：建立目标函数和约束条件
6. **多元函数极值的几何意义**：理解曲面形状

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*第四章完*