# 5.1 二重积分

## 一、二重积分的概念

### 1.1 二重积分的定义

设函数 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有界。将 $D$ 任意分成 $n$ 个小区域 $\Delta \sigma_1, \Delta \sigma_2, \ldots, \Delta \sigma_n$，在每个小区域上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$，作和式：

$$S = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i$$

记 $\lambda$ 为各小区域直径的最大值。若当 $\lambda \to 0$ 时，和式 $S$ 的极限存在，且与分法及 $(\xi_i, \eta_i)$ 的取法无关，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上的**二重积分**，记作：

$$\iint_D f(x, y)d\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i$$

其中：
- $f(x, y)$ 称为**被积函数**
- $D$ 称为**积分区域**
- $d\sigma$ 称为**面积元素**

### 1.2 几何意义

- 若 $f(x, y) \geq 0$，二重积分表示以 $D$ 为底、以 $z = f(x, y)$ 为顶的**曲顶柱体的体积**
- 若 $f(x, y) \leq 0$，二重积分值为体积的负值
- 若 $f(x, y)$ 有正有负，二重积分值为各部分体积的代数和

### 1.3 存在条件

若 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上可积。

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## 二、二重积分的性质

### 2.1 线性性质

$$\iint_D [f(x, y) \pm g(x, y)]d\sigma = \iint_D f(x, y)d\sigma \pm \iint_D g(x, y)d\sigma$$

$$\iint_D kf(x, y)d\sigma = k\iint_D f(x, y)d\sigma \quad (k \text{ 为常数})$$

### 2.2 区域可加性

若 $D = D_1 \cup D_2$，且 $D_1$ 与 $D_2$ 无公共内点，则

$$\iint_D f(x, y)d\sigma = \iint_{D_1} f(x, y)d\sigma + \iint_{D_2} f(x, y)d\sigma$$

### 2.3 比较性质

若在 $D$ 上 $f(x, y) \leq g(x, y)$，则

$$\iint_D f(x, y)d\sigma \leq \iint_D g(x, y)d\sigma$$

### 2.4 估值性质

设 $M$ 和 $m$ 分别是 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的最大值和最小值，$\sigma$ 为 $D$ 的面积，则

$$m\sigma \leq \iint_D f(x, y)d\sigma \leq M\sigma$$

### 2.5 中值定理

若 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，$\sigma$ 为 $D$ 的面积，则存在 $(\xi, \eta) \in D$，使得

$$\iint_D f(x, y)d\sigma = f(\xi, \eta)\sigma$$

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## 三、二重积分的计算

### 3.1 直角坐标系

**面积元素**：$d\sigma = dxdy$

#### 情形1：X型区域

$$D: a \leq x \leq b, \quad \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)$$

$$\iint_D f(x, y)d\sigma = \int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y)dy$$

**积分顺序**：先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。

#### 情形2：Y型区域

$$D: c \leq y \leq d, \quad \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y)$$

$$\iint_D f(x, y)d\sigma = \int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y)dx$$

**积分顺序**：先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分。

#### 情形3：一般区域

将 $D$ 分成若干X型或Y型区域，利用区域可加性计算。

### 3.2 极坐标系

**坐标变换**：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$

**面积元素**：$d\sigma = r dr d\theta$

$$\iint_D f(x, y)d\sigma = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)r dr d\theta$$

#### 情形1：极点在区域外

$$D: \alpha \leq \theta \leq \beta, \quad r_1(\theta) \leq r \leq r_2(\theta)$$

$$\iint_D f(x, y)d\sigma = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta)r dr$$

#### 情形2：极点在区域内

$$D: 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad 0 \leq r \leq r(\theta)$$

$$\iint_D f(x, y)d\sigma = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{r(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta)r dr$$

### 3.3 选择坐标系的原则

**用极坐标的情况**：
1. 积分区域是圆、圆环、扇形等
2. 被积函数含 $x^2 + y^2$、$\frac{y}{x}$ 等形式

**用直角坐标的情况**：
1. 积分区域是矩形、三角形等
2. 被积函数形式简单

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## 四、例题

### 例1：直角坐标计算

计算 $\iint_D xy d\sigma$，其中 $D$ 由 $y = x$、$y = 1$、$x = 2$ 围成。

**解**：
画出区域，$D$ 为X型：$1 \leq x \leq 2$，$1 \leq y \leq x$

$$\iint_D xy d\sigma = \int_1^2 dx \int_1^x xy dy$$

$$= \int_1^2 x \cdot [\frac{y^2}{2}]_1^x dx = \int_1^2 x \cdot \frac{x^2 - 1}{2} dx$$

$$= \frac{1}{2}\int_1^2 (x^3 - x)dx = \frac{1}{2}[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}]_1^2$$

$$= \frac{1}{2}[(4 - 2) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})] = \frac{1}{2}(2 + \frac{1}{4}) = \frac{9}{8}$$

### 例2：极坐标计算

计算 $\iint_D e^{x^2+y^2}d\sigma$，其中 $D: x^2 + y^2 \leq 1$。

**解**：
用极坐标：$0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq r \leq 1$

$$\iint_D e^{r^2} \cdot r dr d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 e^{r^2} r dr$$

$$= 2\pi \cdot [\frac{1}{2}e^{r^2}]_0^1 = 2\pi \cdot \frac{e - 1}{2} = \pi(e - 1)$$

### 例3：交换积分次序

计算 $\int_0^1 dy \int_y^1 e^{x^2}dx$。

**解**：
原积分无法直接计算（$e^{x^2}$ 没有初等原函数）。

画出区域：$0 \leq y \leq 1$，$y \leq x \leq 1$，即 $0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq x$

交换次序：
$$\int_0^1 dx \int_0^x e^{x^2}dy = \int_0^1 e^{x^2} \cdot x dx$$

$$= [\frac{1}{2}e^{x^2}]_0^1 = \frac{e - 1}{2}$$

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## 五、对称性的应用

### 5.1 关于x轴对称

若 $D$ 关于 $x$ 轴对称：
- 若 $f(x, -y) = -f(x, y)$（关于 $y$ 为奇函数），则 $\iint_D f(x, y)d\sigma = 0$
- 若 $f(x, -y) = f(x, y)$（关于 $y$ 为偶函数），则 $\iint_D f(x, y)d\sigma = 2\iint_{D_1} f(x, y)d\sigma$

其中 $D_1$ 为 $D$ 在 $x$ 轴上方的部分。

### 5.2 关于y轴对称

若 $D$ 关于 $y$ 轴对称：
- 若 $f(-x, y) = -f(x, y)$（关于 $x$ 为奇函数），则 $\iint_D f(x, y)d\sigma = 0$
- 若 $f(-x, y) = f(x, y)$（关于 $x$ 为偶函数），则 $\iint_D f(x, y)d\sigma = 2\iint_{D_1} f(x, y)d\sigma$

### 5.3 关于原点对称

若 $D$ 关于原点对称，且 $f(-x, -y) = -f(x, y)$，则 $\iint_D f(x, y)d\sigma = 0$。

### 5.4 轮换对称性

若 $D$ 关于直线 $y = x$ 对称，则

$$\iint_D f(x, y)d\sigma = \iint_D f(y, x)d\sigma$$

特别地，$\iint_D f(x)d\sigma = \iint_D f(y)d\sigma$。

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## 六、考研重点

1. **二重积分的定义和性质**：理解概念
2. **直角坐标计算**：确定积分限
3. **极坐标计算**：记住面积元素 $r dr d\theta$
4. **交换积分次序**：画出区域，重新确定限
5. **对称性的应用**：简化计算
6. **选择坐标系**：根据区域和被积函数选择
7. **分段函数的二重积分**：分区域计算

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*第五章完*