# 6.1 微分方程

## 一、微分方程的基本概念

### 1.1 微分方程

含有未知函数及其导数的方程称为**微分方程**。

- **常微分方程**：未知函数是一元函数
- **偏微分方程**：未知函数是多元函数（数二不考）

### 1.2 阶

微分方程中出现的未知函数的**最高阶导数的阶数**称为微分方程的**阶**。

**例子**：
- $y' + y = 0$：一阶
- $y'' + y' + y = 0$：二阶
- $y^{(4)} + y = 0$：四阶

### 1.3 解

**解**：满足微分方程的函数称为微分方程的**解**。

**通解**：含有与方程阶数相同个数的独立任意常数的解。

**特解**：给通解中的任意常数以确定值的解。

**初始条件**：确定通解中任意常数的条件。

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## 二、一阶微分方程

### 2.1 可分离变量的方程

**形式**：$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ 或 $M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0$

**解法**：分离变量，两边积分

$$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$$

$$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$$

**例**：求 $y' = xy$ 的通解。

**解**：
$$\frac{dy}{y} = xdx$$
$$\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C_1$$
$$y = Ce^{\frac{x^2}{2}}$$

### 2.2 齐次方程

**形式**：$\frac{dy}{dx} = \varphi(\frac{y}{x})$

**解法**：令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$y' = u + xu'$

$$u + x\frac{du}{dx} = \varphi(u)$$

$$x\frac{du}{dx} = \varphi(u) - u$$

分离变量求解。

**例**：求 $y' = \frac{y}{x} + \tan\frac{y}{x}$ 的通解。

**解**：令 $u = \frac{y}{x}$

$$u + xu' = u + \tan u$$
$$x\frac{du}{dx} = \tan u$$
$$\frac{\cos u}{\sin u}du = \frac{dx}{x}$$
$$\ln|\sin u| = \ln|x| + C$$
$$\sin\frac{y}{x} = Cx$$

### 2.3 一阶线性方程

**形式**：$y' + P(x)y = Q(x)$

**解法**：常数变易法或公式法

**通解公式**：
$$y = e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C\right)$$

**例**：求 $y' + \frac{1}{x}y = x^2$ 的通解。

**解**：
$P(x) = \frac{1}{x}$，$Q(x) = x^2$

$$\int P(x)dx = \ln|x|$$
$$e^{\int P(x)dx} = x$$
$$e^{-\int P(x)dx} = \frac{1}{x}$$

$$y = \frac{1}{x}\left(\int x^2 \cdot x dx + C\right) = \frac{1}{x}\left(\frac{x^4}{4} + C\right) = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x}$$

### 2.4 伯努利方程（数二不考）

**形式**：$y' + P(x)y = Q(x)y^n$（$n \neq 0, 1$）

**解法**：令 $z = y^{1-n}$

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## 三、可降阶的高阶方程

### 3.1 $y^{(n)} = f(x)$

**解法**：连续积分 $n$ 次。

**例**：求 $y'' = x$ 的通解。

**解**：
$$y' = \frac{x^2}{2} + C_1$$
$$y = \frac{x^3}{6} + C_1x + C_2$$

### 3.2 $y'' = f(x, y')$（缺 $y$）

**解法**：令 $p = y'$，则 $y'' = p'$，化为一阶方程。

**例**：求 $y'' = y'$ 的通解。

**解**：令 $p = y'$，则 $p' = p$
$$\frac{dp}{p} = dx$$
$$\ln|p| = x + C_1$$
$$p = C_1e^x$$
$$y = C_1e^x + C_2$$

### 3.3 $y'' = f(y, y')$（缺 $x$）

**解法**：令 $p = y'$，则 $y'' = p\frac{dp}{dy}$

**例**：求 $yy'' + (y')^2 = 0$ 的通解。

**解**：令 $p = y'$，则 $y'' = p\frac{dp}{dy}$

$$yp\frac{dp}{dy} + p^2 = 0$$
$$p(y\frac{dp}{dy} + p) = 0$$

$p = 0$ 或 $y\frac{dp}{dy} = -p$

由后者：$\frac{dp}{p} = -\frac{dy}{y}$，$\ln|p| = -\ln|y| + C_1$

$$p = \frac{C_1}{y}$$
$$y' = \frac{C_1}{y}$$
$$ydy = C_1dx$$
$$\frac{y^2}{2} = C_1x + C_2$$
$$y^2 = C_1x + C_2$$

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## 四、二阶常系数线性微分方程

### 4.1 齐次方程

**形式**：$y'' + py' + qy = 0$（$p, q$ 为常数）

**解法**：特征方程法

**特征方程**：$r^2 + pr + q = 0$

**通解**：

| 特征根情况 | 通解 |
|-----------|------|
| 两个不等实根 $r_1 \neq r_2$ | $y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$ |
| 两个相等实根 $r_1 = r_2 = r$ | $y = (C_1 + C_2x)e^{rx}$ |
| 共轭复根 $r = \alpha \pm \beta i$ | $y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$ |

**例1**：求 $y'' - 3y' + 2y = 0$ 的通解。

**解**：特征方程 $r^2 - 3r + 2 = 0$，$(r-1)(r-2) = 0$

$r_1 = 1$，$r_2 = 2$

$$y = C_1e^x + C_2e^{2x}$$

**例2**：求 $y'' + 4y' + 4y = 0$ 的通解。

**解**：特征方程 $r^2 + 4r + 4 = 0$，$(r+2)^2 = 0$

$r_1 = r_2 = -2$

$$y = (C_1 + C_2x)e^{-2x}$$

**例3**：求 $y'' + y = 0$ 的通解。

**解**：特征方程 $r^2 + 1 = 0$，$r = \pm i$

$$y = C_1\cos x + C_2\sin x$$

### 4.2 非齐次方程

**形式**：$y'' + py' + qy = f(x)$

**通解结构**：$y = Y + y^*$

- $Y$：对应齐次方程的通解
- $y^*$：非齐次方程的特解

### 4.3 特解的求法——待定系数法

**情形1**：$f(x) = P_n(x)e^{\lambda x}$

设特解 $y^* = x^k Q_n(x)e^{\lambda x}$

- $k = 0$：$\lambda$ 不是特征根
- $k = 1$：$\lambda$ 是单特征根
- $k = 2$：$\lambda$ 是重特征根

**情形2**：$f(x) = e^{\alpha x}[P_l(x)\cos\beta x + P_m(x)\sin\beta x]$

设特解 $y^* = x^k e^{\alpha x}[R_n(x)\cos\beta x + S_n(x)\sin\beta x]$

- $k = 0$：$\alpha + \beta i$ 不是特征根
- $k = 1$：$\alpha + \beta i$ 是特征根

其中 $n = \max(l, m)$。

### 4.4 例题

**例**：求 $y'' - 3y' + 2y = xe^x$ 的通解。

**解**：

**第一步：求齐次通解**

特征方程 $r^2 - 3r + 2 = 0$，$r_1 = 1$，$r_2 = 2$

$$Y = C_1e^x + C_2e^{2x}$$

**第二步：求特解**

$f(x) = xe^x$，$\lambda = 1$ 是单特征根，设

$$y^* = x(Ax + B)e^x = (Ax^2 + Bx)e^x$$

$$y^{*'} = (2Ax + B)e^x + (Ax^2 + Bx)e^x = [Ax^2 + (2A+B)x + B]e^x$$

$$y^{*''} = [2Ax + (2A+B)]e^x + [Ax^2 + (2A+B)x + B]e^x$$
$$= [Ax^2 + (4A+B)x + (2A+2B)]e^x$$

代入原方程：
$$[Ax^2 + (4A+B)x + (2A+2B)] - 3[Ax^2 + (2A+B)x + B] + 2[Ax^2 + Bx] = x$$

比较系数：
- $x^2$：$A - 3A + 2A = 0$ ✓
- $x$：$4A + B - 6A - 3B + 2B = -2A = 1$，$A = -\frac{1}{2}$
- 常数：$2A + 2B - 3B = 2A - B = 0$，$B = 2A = -1$

$$y^* = (-\frac{1}{2}x^2 - x)e^x$$

**第三步：写出通解**

$$y = C_1e^x + C_2e^{2x} - (\frac{x^2}{2} + x)e^x$$

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## 五、考研重点

1. **可分离变量方程**：分离变量，两边积分
2. **齐次方程**：令 $u = \frac{y}{x}$
3. **一阶线性方程**：记住通解公式
4. **可降阶方程**：根据类型选择换元
5. **二阶常系数齐次方程**：特征方程法
6. **二阶常系数非齐次方程**：待定系数法求特解
7. **叠加原理**：多个 $f(x)$ 的情况
8. **初始条件的应用**：确定特解

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*第六章完*